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sylvy_162

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Morphisme et point fixe

Bonjour à vous! :D

Voilà, je rencontre un problème dans mon exercice. Jusqu'à la première question tout va bien. J'ai réussi à répondre mais à partir de la deuxième le problème se pose. Pourriez-vous m'aider?
Je vous adresse l'énoncé:

Soit (G, .) un groupe. Le produit . de deux éléments x; y de G sera noté simplement xy.
On note e le neutre de G.
Pour tout g appartenant à  G, on note Lg ( g en indice) l'application définie par :
                                        Lg : G ====> G
                                               x ====> gx     
On note sisgma(G) l'ensemble des bijections de G dans lui-même. On rappelle que (sigma(G); o) est un groupe,
appelé groupe des permutations de G.

1. Montrer que pour tout g appartenant à  G, Lg appartient à sigma(G).

Le problème se pose là:
2. Montrer que Lg admet un point fixe ssi g = e.
3. Montrer que Lg est un morphisme de groupe de (G, .) dans lui-même ssi g = e.

J'ai compris le principe mais je n'arrive pas clairement à l'expliquer. Une petite piste sera la bienvenu. Je vous remercie d'avance...

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

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Re : Morphisme et point fixe

Bonjour,

  Ce n'est pas si difficile...
Si Lg admet un point fixe, il existe x de G tel que gx=x.
On multiplie à droite par [tex]x^{-1}[/tex] et on trouve que g=e.

Fred.