Forum de mathématiques - Bibm@th.net

troyenndu69

Invité

probabilité

Bonjour,
j'ai un petit probleme avec un Dm

voici le sujet
Soit E un ensemble
On pose AtriangleB= AUB\ANB.

On définit dans l'ensemble p(E) des parties de la relation R, en posant, pour tout couple (a,b) de parties de E :

ARB equivalent a AtriangleB est un ensemble fini ayant un nombre fini pair d’élément.

Montrer que R est une relation d'équivalence dans p(E)

cordialement
coralie

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : probabilité

Bonsoir,

  Pas très facile ton exo, au moins pour démontrer que c'est transitif car j'imagine que c'est là que tu bloques.
On suppose donc que A R B et que B R C
Voici une solution :
Tu découpes A en 4 parties :
*A1, les éléments qui sont à la fois dans A,B,C
*A2, dans A, dans B, pas dans C
*A3, dans A, dans C, pas dans B
*A4, dans A, pas dans B, pas dans C
De même pour B :
*B1, dans A,B et C
*B2, dans A et B, pas dans C (=A2)
*B3, dans B et C, pas dans A
*B4, dans B, pas dans A ou C
De même pour C :
*C1, dans A, B et C
*C2, dans A et C, pas dans B (=A3)
*C3, dans B et C, pas dans A (=B3)
*C4, dans C, pas dans A ou C.

On a alors :
[tex]A\Delta B=A_3\cup B_3,\ B\Delta C=B_2\cup C_2,\ A\Delta C=A_2\cup C_3[/tex]
et les réunions précédentes sont des réunions d'ensembles disjoints.
Puisque A2=B2 et que [tex]B\Delta C[/tex] est fini, A2 est fini.
De même, puisque C3=B3, C3 est fini et donc [tex]A\Delta C[/tex] est fini.
De plus, son nombre d'éléments est
[tex]card(A2)+card(C3)=card(B2)+card(B3)[/tex]
Or, puisque [tex]A\Delta B[/tex] et [tex]B\Delta C[/tex] comportent un nombre pair d'éléments, on sait que
[tex]card(A3)+card(B3)+card(B2)+card(C2)=2p[/tex]
Or, A3=C2, et donc cette relation s'écrit encore
[tex]card(B2)+card(B3)=2p-2card(A3)[/tex]
ce qui prouve bien que [tex]A\Delta C[/tex] possède un nombre pair d'éléments.

Fred.