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MIAS2

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Démonstration sur les boules.

Bonsoir, pouvez-vous essayer de me corriger cette démonstration sur les boules.
Voila l'enoncé : Soit E un espace vectoriel normé muni de la norme ||.||, montrer que B(a,r)= {a}+B(0,r).
J'ai procédé ainsi:
On sait que a € B(a,r) et a=a+0 or 0 € B(0,r) donc a € {a}+B(0,r) alors B(a,r) inclus dans {a}+B(0,r). Pour l'inclusion dans l'autre sens : y € {a}+B(0,r) equivaut à dire que y= a+v avec v € B(0,r) càd que ||v||<r équivaut à ||v+a-a||<r donc y € B(a,r), alors
{a}+B(0,r) inclus dans B(a,r).
Alors B(a,r)={a}+B(0,r).
Trouvez-vous ma démonstration juste ou complétement fausse ? Merci d'avance pour les critiques et vos conseils qui vont suivre (je l'espère).

PS: "€" signifie " appartient à ".

Dernière modification par MIAS2 (18-11-2009 18:44:02)

Fred

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Re : Démonstration sur les boules.

Bonsoir, pouvez-vous essayer de me corriger cette démonstration sur les boules.
Voila l'enoncé : Soit E un espace vectoriel normé muni de la norme ||.||, montrer que B(a,r)= {a}+B(0,r).
J'ai procédé ainsi:
On sait que a € B(a,r) et a=a+0 or 0 € B(0,r) donc a € {a}+B(0,r) alors B(a,r) inclus dans {a}+B(0,r).

Jusque [tex]a\in \{a\}+B(0,r)[/tex] je suis d'accord, mais tu ne peux pas en déduire directement que B(a,r) est inclus dans {a}+B(0,r). Tu dois prendre n'importe quel y de B(a,r), l'écrire sous la forme y=a+x, avec x=y-a, et vérifier que x est dans B(0,r)

Pour l'inclusion dans l'autre sens : y € {a}+B(0,r) equivaut à dire que y= a+v avec v € B(0,r) càd que ||v||<r équivaut à ||v+a-a||<r donc y € B(a,r), alors
{a}+B(0,r) inclus dans B(a,r).
Alors B(a,r)={a}+B(0,r).

Pour la réciproque, je suis d'accord car tu as pris n'importe que élément de {a}+B(0,r)

Fred.

MIAS2

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Re : Démonstration sur les boules.

Donc , il ne me reste plus qu'à montrer que quelque soit y [tex]\in[/tex] B(a,r) de décomposer en y=a+x càd que x=y-a et donc de montrer que x [tex]\in[/tex] B(0,r) . Merci beaucoup !!!

MIAS2

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Re : Démonstration sur les boules.

Bonsoir, pour la démonstration de l'inclusion de B(a,r) dans {a} + B(0,r) , voilà comment j'ai fait pour la démontrer:

Soit y [tex]\in[/tex] B(a,r) càd y=a+x, x=y-a or ||y-a||<r parce que y  [tex]\in[/tex] B(a,r) donc ||x||<r équivaut à ||0-x||=||x-0||<r donc x [tex]\in[/tex] B(0,r) , ce qui nous montre que y se décompose en a et en élement de B(0,r) , donc B(a,r) [tex]\subset[/tex] {a} + B(0,r). Cette nouvelle démostration est-elle juste ??

Fred

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Re : Démonstration sur les boules.

Oui, c'est correct cette fois.

Fred.