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neufbox

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2nd Devoir Equations [Résolu]

Salut,
J'ai un problème dans un devoir maison je bosse de mon côté mais je suis carrément bloqué :S   :
N°1 ABCD est un carré de côté 12, AF = 13 et EC = 3.
Le triangle est-il un triangle rectangle ?
Figure :

N°2 :
Le triangle ABC est rectangle en A.
H est le pied de la hauteur issue de A.
Les points K et L sont les symétriques de H par rapport à (AB) et à (AC).

1° Montrer que le point A est le milieu [LK].
2° Montrer que les points A, K, B et H sont cocycliques sur un cercle C dont on précisera un diamètre.

Quelle est la position de (AC) par rapport à ce cercle ?

3° Quelle est la tangente en H au cercle de diamètre [KL] ?

Figure -->

Merci d'avance.

yoshi

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Re : 2nd Devoir Equations [Résolu]

Bonjour neufbox,

et bienvenue sur BibM@th...
Je vais te mettre "le pied à l'étrier" et tu continueras sur ta lancée..
Tu reviendras si nécessaire, en disant où tu coinces, pourquoi tu coinces, et tu montreras ce qui ne marche pas...
Dans un carré, les a angles sont droits...
ADF est donc un triangle rectangle en F.
Tu vas calculer DF et ne dis pas que tu ne sais pas faire, ce ne serait pas vrai.
Connaisant DF tu en déduis FC.
Le triangle DCE étant rectangle en C, possédant deux côtés, tu calcules le 3e, FE...
Connaissant EC tu en déduis BE.

Le triangle ABE étant rectangle en B, tu y calcules ARE.
Maintenant que tu connais AF, FE et AE, tu peux savoir si si AFE est rectangle ou pas.
Niveau : 4e.

Problème 2.
Si dans un triangle la médiane relative à un côté a une longueur égale à la moitié de celle de ce côté, alors c'est un triangle rectangle dont ce côté est l'hypoténuse...
Voilà ta piste.
Puisqu'il y a symétrie orthogonale (AB) et (AC) sont des médiatrices et A est un point de ces médiatrices.
Niveau 4e + théorèmes de 6e (sur les médiatrices) et (5e pour la définition du symétrique par rapport à un point) .
Conclusion ?

A suivre...

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : 2nd Devoir Equations [Résolu]

RE,

A suivre..

C'est à dire, puisque je t'ai vu passer 3 fois aujourd'hui, "Affaire à suivre" : j'attends de voir ce que TOI tu auras fait : je ne vais pas faire le travail à ta place, mais te pousser dans la bonne direction !
Extrait des Règles de fonctionnement du Forum

*Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Donc, si tu attendais la suite des instructions pour un Copier/Coller (!), pas de bol, c'est raté, ce n'est pas le genre de la maison... ;-)

Où en es-tu ? As-tu avancé ? Bloques-tu quelque part ?

@+

yoshi

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Re : 2nd Devoir Equations [Résolu]

Bonjour,

Vexé ?
Pas de raison, j'ai simplement précisé où aller chercher les théorèmes pour que tu ne te disperses pas en recherches inutiles.
Problème 2. Je fais un effort en rajoutant un codicille.
Avant d'utiliser le théorème de la médiane dans le triangle HKL, il faut d'abord montrer que A est un point de [KL].
Le plus simple ? I et J étant les intersections de (HK) et (AB) d'une part, (HL) et (AC) d'autre part, prouver que [tex]\widehat{IAK}+\widehat{JAL}=90^\circ[/tex], tu auras ainsi [tex]\widehat{KAL}=180^\circ[/tex], donc  K, A, L sont alignés...

Sans autre manifestation de ta part, je fermerai le sujet dans 48 h, et rédigerai la solution complète dans 8 jours.

@+

yoshi

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Re : 2nd Devoir Equations [Résolu]

Bonjour,

Donc, vexé !
Tant pis pour toi, on ferme.

Cela dit, je suis surpris qu'on donne ce type de devoir en 2nde (je n'y avais pas prêté attention en rédigeant mes réponses) maintenant que je m'en aperçois (un peu tard).
C'est bien un devoir niveau 4e/ révisions en 3e...

En effet, comme chacun pourra le constater déjà en attendant la solution complète en fin de semaine :
Problème 1
Théorème de Pythagore (2 fois)
Pour constater ensuite que la réciproque ne fonctionne pas.

Problème 2
1. Ptés de la symétrie orthogonale conduisant à la somme des angles de 90° puis 180° voir message précédent.
    A est sur [KL]. [HA] est la médiane relative à [KL]
2. On montre facilement que AKB et AHB sont deux triangles rectangles de même hypoténuse.
    Or (classe de 4e)  :
    Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse de ce triangle.
3. BAC est rectangle en A. Voir la définition de la tangente en un point d'un cercle (classe de 6e).
4. Conséquence du 1. KHL est rectangle en H donc th. Q2 et BKL rectangle en K.

Rien que des théorèmes de niveaux 6e à 4e.
Pas d'équations...

@+ (peut-être)

yoshi

Modo Ferox

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Re : 2nd Devoir Equations [Résolu]

Re,

Voici les solutions. Vous jugerez...
Problème 1
Le carré a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur...
les triangles ADF, FEC et EAB sont respectivement rectangles  en D, C et B.
En outre AB = BC = CD = DE = 12.
Dans le triangle ASD, on applique le th. de Pythagore :
AF² = AD² + DF²
13² = 12² + DF²
D'où DF² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25 = 5²
Et DF = 5.
Puisque F est sur [DC], alors FC = DC - DF = 12 - 5 = 7
Dans le triangle FEC, on applique le théorème de Pythagore :
EF² = FC² + CE² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

Puisque E est sur [BC], alors BE = BC - CE = 12 - 3 = 9
Dans le triangle EAB, on applique le théorème de Pythagore :
EA² = EB² +BA² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²
EA = 15.
Le triangle AFE est-il rectangle ?
Pour le savoir, comparons AE² et la somme AF²+FE² :
AE² = 225
AF² + FE² = 13² + 58 = 169 + 58 = 227
Il n'y a pas égalité, le triangle n'est pas rectangle...
(Pour les férus de logique, ceci n'est pas la réciproque du théorème de Pythagore, mais sa contraposée)

Parfaitement et intégralement niveau 4e : Chapitre.... Théorème de Pythagore !!!
(Quelle surprise !...)

Problème 2
1. Par hypothèse, K est le symétrique de H par rapport à (AB), donc (AB) est la médiatrice de [HK].
    A, point de cette médiatrice de [HK] esrt donc équidistant de H et K : AH = AK
    Le triangle HAK qui a 2 côtés de même longueur, [AK] et [AH], est donc isocèle de sommet principal A.
    Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi bissectrice de l'angle au sommet :
    [tex]\widehat{BAH}=\widehat{BAK}[/tex] (1)
    L, étant par hypothèse, le symétrique de H par rapport à (AC), on montrerait de même que le triangle HAL est
    isocèle de sommet principal A et que :
     [tex]\widehat{CAH}=\widehat{CAL}[/tex] (2)
     Or puisque le triangle BAC est rectangle en A et que [AH] est une hauteur :
     * H est entre B et C (pas indispensable, juste un petit raffinement avant ce qui suit)
     * [tex]\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^\circ[/tex] (3)
     Les égalités (1) (2) et (3) permettent d'écrire : [tex]\widehat{BAK}+\widehat{CAL}=90^\circ[/tex]
     On a donc :
      [tex]\widehat{KAL}=\widehat{BAK}+\widehat{BAH}+\widehat{CAH}+\widehat{CAL}=90^\circ+90^\circ=180^\circ[/tex]
     L'angle étant plat, les points K,A et L sont alignés.
     De plus, on sait maintenant que les triangles AKK et AHL sont isocèles et que AK = AH et AH = AL.
     Donc AK = AL
     A est donc le milieu de [KL]

Petit commentaire. La définition du milieu M d'un segment [AB] comporte deux éléments :
* [tex]M \in[AB][/tex]
* MA = MB.
Il était donc ici nécessaire de prouver que [tex]A \in[KL][/tex], donc que K, A et L étaient alignés...

2. On sait que [AH]est la hauteur relative à [BC], donc que (AH) est perpendiculaire à (BC) et que le triangle
    AHB est rectangle en C.
    Dans la symétrie d'axe (AB), les points A et B de cet axe sont dits invariants :
    ils sont leurs propres symétriques.
    Et par hypothèse K est le symétrique de H.
    Le triangle BAK est donc le symétrique du triangle BAH.
    La symétrie conservant les angles, l'angle K est donc droit aussi et donc BAK un triangle rectangle en K.
    Nous avons donc deux triangles BAH et BAK rectangles respectivement en H et K, d'hypoténuse [AB]
    Or, Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse de ce triangle.
    Les triangles BAH et BAK sont donc tous deux inscriptibles dans le cercle de diamètre [BC].
    Les 4 points B, H, A, K sont donc cocycliques et appartiennent au cercle de diamètre [BC].

    Puisque le triangle BAC est rectangle en A, (CA) est donc une perpendiculaire au diamètre [AB] en un point A de ce cercle : ceci est la définition de la tangente eu un point d'un cercle.
    (CA) est donc la tangente en A au cercle de diamètre [AB].

3. On sait depuis la question précédente que A est le milieu de [KL].
    De plus la question 1. nous a permis d'établir que HA = AK = AL.
    Comme A est le milieu de [KL] :
    * D'une part, [HA] est donc la médiane du triangle HKL relative au côté [HL]
    * D'autre part, AH = KL/2
    Or, si dans un triangle, la médiane relative à un côté a une longueur égale à la moitié de celle de ce côté, alors ce triangle est rectangle dont ce côté est l'hypoténuse..
     Le triangle HKL est donc rectangle en H.
     Il est donc inscriptible dans le cercle de diamètre [KL]. [HA] en est un rayon.
     Et comme (BC) est perpendiculaire en H à (AH), la tangente en H au cercle de centre H et de diamètre [KL].

Je rouvre le sujet - provisoirement - pour toute demande d'éclaircissement complémentaire

@+

Ps : Pas de commentaire. Je referme donc.

Dernière modification par yoshi (18-11-2009 20:17:24)