Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cgouttebroze

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Cherche produit scalaire pour polynomes [Résolu]

Bonjour à tous,

Je considère la famille finie des n+1 monômes [tex]X^0, X^1, ..., X^n[/tex]. Je cherche un produit scalaire [tex]<.,.>[/tex] qui rendrait cette famille orthogonale :
[tex]\ \bullet \ <X^i,X^i> \neq 0[/tex] pour [tex]i = 0, ..., n[/tex]
[tex]\ \bullet \ <X^i,X^j> = 0[/tex] pour [tex]i \neq j[/tex]
Auriez-vous une idée ?

Merci pour votre aide !

Camille

Fred

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Re : Cherche produit scalaire pour polynomes [Résolu]

Bonjour,

  Tu l'as presque donné. Tu définie
[tex]\langle \sum_{k=0}^n a_k X^k,\sum_{j=0}^n b_j X^j\rangle=\sum_{k,j=0}^n a_kb_j.[/tex]
C'est bien un produit scalaire, et il vérifie la propriété demandée....
Plus généralement, si [tex](e_1,\dots,e_n)[/tex] est une base d'un espace vectoriel E, on peut avec le même procédé fabriquer un produit scalaire sur E qui fait que cette base devient une base orthonormale.

Fred.

cgouttebroze

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Re : Cherche produit scalaire pour polynomes [Résolu]

Merci beaucoup Fred !