Coordonnées de deux points d'une hyperbole [Résolu]

pierre · 04-11-2009 18:32:43

Bonjour je dois rendre un Dm et je n'arrive pas a résoudre voila l'énoncé:

Déterniner les points A et B de la courbe C d'équation y=1/x

tels que le point I de coordonnées (21/8, 21/10) soit le millieu de [AB] .

merci beaucoup

freddy · 04-11-2009 18:59:52

Salut,

first, écris les coodordonnées du point I en fonction de celle de A (xa,ya) et de B(xb, yb).

Ensuite, puisque A et B sont sur la courbe C, alors on déduit facilement les ordonnées ya et yb en fonction des abscisses xa et xb

Enfin, puisqu'on connait les coordonnées de I, on déduit un système déquation à deux inconnues (xa et xb) à résoudre.

On en tire les ordonnées ya et yb et le travail est fini.

C'est bon ?

pierre · 04-11-2009 19:11:59

Mais il n'y a pas que deux inconues il y a Xa Xb Ya Yb

freddy · 04-11-2009 19:19:00

Re,

non, et réfléchis pourquoi (A et B sont sur la Courbe C d'équation y=1/x !) ...

pierre · 04-11-2009 19:44:07

Ba la je suis bloqué a 1/Xa+1/Xb=21/4 comment je fait puisque jene connais ni Xa ni Xb ?

yoshi · 04-11-2009 19:51:53

Bonsoir,

freddy a écrit :

On en tire les ordonnées ya et yb et le travail est fini.

Sauf erreur, ce n'est pas si simple : j'espère que Pierre sait résoudre une équation du 2nd degré...

@+

Je reprends : pierre a posté entre temps...
[tex]\frac{1}{x_A}+\frac{1}{x_B}=\frac{21}{5}\;\Leftrightarrow\;\frac{x_B+x_A}{x_A.x_B}={21 \over 5}[/tex]

Or on sait que [tex]x_A+x_B = {21\over 4}[/tex]
On remplace et on en tire le produit
On est alors devant le système suivant :
[tex]\begin{cases}x_A+x_B={21 \over 4}\\x_A.x_B=\frac{?}{?}[/tex]

Et x_A, x_B sont les 2 racines d'une équation du 2nd degré...

@++

pierre · 04-11-2009 19:57:35

finalement jen suis arrivé a -21xa²+118.25xa-21
___________________ c'est possible ?
4Xa(Xa-5.25)

freddy · 04-11-2009 20:02:33

pierre a écrit :

Ba la je suis bloqué a 1/Xa+1/Xb=21/4 comment je fait puisque jene connais ni Xa ni Xb ?

Re,

c'est tout le sel du sujet !

Tu as à résoudre

xa + xb = 21/4 et
1/xa + 1/xb = 21/5

système de deux équations à deux inconnues a priori soluble dans l'eau !

Par exemple, tu vois que (xa.xb) = 5/4 donc en posant x = xa, tu as

x+5/(4x)=21/4 soit 4x² -21x+5=0

...

pierre · 04-11-2009 20:09:02

Et comment on trouve Xa.Xb ?

yoshi · 04-11-2009 20:12:07

Re,

Relis le post de freddy et le complément du mien message #6 : ça se complète...
Résous ton équation du 2nd degré et tu auras x_A et x_B les deux racines...

@+

pierre · 04-11-2009 20:25:29

yoshi a écrit :

Bonsoir,
freddy a écrit :
On en tire les ordonnées ya et yb et le travail est fini.
Sauf erreur, ce n'est pas si simple : j'espère que Pierre sait résoudre une équation du 2nd degré...
@+
Je reprends : pierre a posté entre temps...
[tex]\frac{1}{x_A}+\frac{1}{x_B}=\frac{21}{5}\;\Leftrightarrow\;\frac{x_B+x_A}{x_A.x_B}={21 \over 5}[/tex]
Or on sait que [tex]x_A+x_B = {21\over 4}[/tex]
On remplace et on en tire le produit
On est alors devant le système suivant :
[tex]\begin{cases}x_A+x_B={21 \over 4}\\x_A.x_B=\frac{?}{?}[/tex]
Et x_A, x_B sont les 2 racines d'une équation du 2nd degré...
@++

désolé mais je ne vois pas comment tu obtiens
[tex]\frac{1}{x_A}+\frac{1}{x_B}=\frac{21}{5}\;\Leftrightarrow\;\frac{x_B+x_A}{x_A.x_B}={21 \over 5}[/tex]

yoshi · 04-11-2009 20:32:25

RE,

alors, ça, c'est la meilleure...
[tex]\frac{1}{x_A}+\frac{1}{x_B}=\frac{21}{5}[/tex]
Tu as deux fractions de dénominateurs respectifs x_A et x_B, le dénominateur commun est donc x_A.x_B, d'accord ?
Donc,en mettant chaque fraction sur ce dénominateur commun j'ai :
[tex]\frac{1}{x_A}=\frac{x_B}{x_A.x_B}[/tex] et [tex]\frac{1}{x_B}=\frac{x_A}{x_A.x_B}[/tex]

Donc (j'enfonce le clou) :
[tex]\frac{1}{x_A}+\frac{1}{x_B}=\frac{x_B}{x_A.x_B}+\frac{x_A}{x_A.x_B}[/tex]

@+

pierre · 04-11-2009 20:45:21

Mais pourquoi Xa.Xb serait egal a [tex]\frac{5}{4}[/tex] ?

pierre · 04-11-2009 20:54:09

c'est cette partie que me pose probleme

x+5/(4x)=21/4 soit 4x² -21x+5=0

yoshi · 04-11-2009 20:54:20

Re,

Pfff... Là, tu pousses !
Je répète donc : je remplace la somme x_A+x_B par 21/4 :
[tex]\frac{x_B+x_A}{x_A.x_B}={21 \over 5}\Leftrightarrow \dfrac{{21 \over 4}}{x_A.x_B}={21\over 5}[/tex]
Soit :
[tex]\dfrac{{21 \over 4}}{x_A.x_B}={21\over 5}\Leftrightarrow \frac{21}{4.x_A.x_B}={21 \over 5}\Leftrightarrow \frac{1}{4.x_A.x_B}={1 \over 5}\Leftrightarrow \frac{1}{x_A.x_B}={4 \over 5}[/tex]

Inutile que je poursuive, je pense...

@+

yoshi · 04-11-2009 21:06:33

RE,

Pour la partie qui te poses problème, soit tu connais la formule, soit tu t'en passes...
1. Etant donné deux nombres x1 et x2 dont on connaît la somme S et le produit P, ils sont solutions de l'équation
du 2nd degré x²-Sx+P=0
2. Si on ne sait pas, alors on résout le système par substitution :
De [tex]x_A+x_B={21 \over 4}[/tex], on tire [tex]x_B = {21 \over 4}-x_A[/tex]
Valeur que l'on reporte dans la 2e équation : [tex]x_A.x_B={5\over 4}[/tex], ce qui donne :
[tex]x_A\left({21 \over 4}-x_A\right)={5\over 4}[/tex]
Je multiplie les deux membres par 4 pour éliminer les dénominateurs :
[tex]x_A(21-4x_A)=5[/tex]
Ce qui équivaut à :
[tex]4x_A^2-21x_A+5=0[/tex]

Ca te va ?

@+

freddy · 09-11-2009 20:28:20

Salut,

pour finir le travail, on a donc :

Delta = [tex]b^2-4ac=19^2[/tex]

donc [tex]x_{1,2}=\frac{21\pm 19}{8} \,\, soit\,\,x_1 = 5\,\et\,\,x_2=\frac{1}{4}[/tex]

On vérifie que c'est OK :

4*25-21*5+5 = -5+5 = 0 et

0.25-(5+0.25)+5 = -5+5 = 0

Il n'y a plus qu'à servir chaud.

Bis bald !

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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