Exercice sur les fonctions et les racines carrées [Résolu]

Estelle · 19-10-2009 10:20:22

bonjour je ne comprends rien a cet erxercice comment calculer

soit f une fonction telle que f(0) = 7 et qui vérifie pour toute valeur de x :

f(x + 1) = 1/2[f(x) + 7/f(x)]

a recopier et completer le tableau suivant a l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur (arrondir les images a 10moins 5)

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 7

voici le tableau ci dessus mais j'arrive pas a calculer

b. que constate t'on?

c. donner l'arrondi a 10 moins 5 de racine carrée de 7
que constate t'on ?

2.a conjecturer une méthode pour obtenir les cinq premieres décimales de racine carrée de 5 a la calculatrice sans utiliser la touche :racine carrée

b. vérifier la validité du résultat

trop difficile je comprends rien

yoshi · 19-10-2009 10:30:46

Bonjour,

Tu n'as bien étudié la formule qu'on te donne
Sinon tu aurais vu d'un côté f(x+1) et de l'autre côté f(x) tout court...
Et on te donne f(0)=7
Et on te demande f(1) ? Mais f(1) = f(0+1) !! et là tu as x = 0 donc de l'autre côté tu pourras utiliser f(0) et le remplacer par 7.
Une fois que tu disposeras de f(1), tu vas t'attaquer à f(2). Même procédé f(2) = f(1 + 1) = ...
Puis f(3) = f(2+1)=...

Tu peux maintenant faire sans problème 1. a) 1.b) 1.c)
Et tu t'essaies au 2. a) et tu reviens avec ce que tu as obtenu...

ok ?

@+

freddy · 19-10-2009 10:32:08

Salut,

puisque f(0)=7, alors f(0+1)=0.5*(f(0)+7/f(0)) = 0.5*(7+1)=4.

donc f(1)=4, non ?

alors continue ... et on revient te voir.

...

[EDIT] grillé par yoshi ... Salut l'ami !

Dernière modification par freddy (19-10-2009 10:32:52)

yoshi · 19-10-2009 11:05:24

Re,

Deux regards valent mieux qu'un...
Je confirme pour f(1)...
Après ça se gâte, on trouve des fractions de plus en grosses (pas difficile, mais réclame un peu d'attention dans le calcul) : il serait souhaitable, je pense qu'Estelle se "farcisse" ces calculs de fractions et ne prenne pas de valeur approchée, vu qu'après on lui réclame une précision à 10^-5...
Qu'en penses-tu ?

@+

freddy · 19-10-2009 11:36:01

Re,

entièrement d'accord avec toi, cela lui donnera en outre un bon exo. de réduction de fraction, ce qui doit aussi faire partie du projet pédagogique de l'exo.

Bb

yoshi · 19-10-2009 12:12:12

Salut freddy

Hum, j'ai eu comme un doute...
J'ai parlé un peu vite : pour l'essai avec x = 6, le numérateur n'a pas moins de 27 chiffres.
Sa calculette ne va pas les lui donner, alors ?

Je peux lui suggérer ça, à partir de x = 4 :
J'appelle a/b la fraction de départ. Au début pour x = 0, on a/b = 7,1...
Ensuite on fait :
[tex]{1\over 2}\left({a \over b}+\dfrac{7}{\dfrac{a}{b}}\right)={1\over 2}\left({a \over b}+\frac{7b}{a}\right)={1\over 2}\left(\frac{..}{ab}+\frac{..}{ab}\right)=\frac{\cdots +\cdots}{2ab}[/tex], en complétant les pointillés.

Je viens de vérifier avec le tableur d'OpenOffice, pour x = 6, j'obtiens l'écriture scientifique des résultats, je l'ai forcé à afficher tous les chiffres, j'ai une "armée de 0 à la fin...
Peux-tu vérifier avec Excel ?
Sinon, elle n'aura qu'à utiliser la calculatrice Windows...

@+

freddy · 19-10-2009 12:28:10

Re,

selon mes calculs sur mon tableur, f(x+1)=f(x) à partir de x= 7. et f(6) = 2 + 494/765

La limite vaut racine carrée de 7. Et la suite de terme est décroissantes.

tu confirmes

yoshi · 19-10-2009 12:50:58

Re,

Avec Python, j'ai fait ça en 3 lignes et j'obtiens pour la dernière fraction :

[tex]\dfrac{104804696428033056657448577}{39612451854313553433195392}\approx 2.6457513110645907[/tex]

Et [tex]\sqrt 7 \approx 2.6457513110645907[/tex]

Mais quand je cherche :
1. A simplifier la fraction via le PGCD, PGCD =1
2. A simplifier c/d en écrivant la fraction d'origine comme 2+c/d, j'obtiens PGCD(c,d)=1...

Y a du louche qq part mais ça ne résout pas son problème...

@+

Au fait, freddy : [tex]2+{494 \over 765}\approx 2.645751633986928[/tex], on diverge au 7e chiffre après la virgule...

freddy · 19-10-2009 13:42:29

Re,

autre idée, calculer le carré de l'expression par réduction au même dénominateur, du genre :

[tex] f(x+1) =\frac{f(x)^2+7}{2f(x)} [/tex]

Dernière modification par freddy (19-10-2009 14:37:57)

yoshi · 19-10-2009 13:52:35

Euh....

Cf message #5... C'est de ça dont tu parles ?

Si oui, c'est comme ça que je l'ai fait avec Python, et avec le tableur, sauf que mon tableur refuse de me donner les 27 "'vrais" chiffres, je n'en obtiens que 16, les autres sont des zéros...

@+

freddy · 19-10-2009 14:40:45

J'étais parti en réunion, au cours de laquelle j'ai calculé avec ma HP12c.

C'est indemer ... comme exo, c'est quel niveau ?

Je te rejoins sur l'idée du calcul symbolique, mais ... en quelle classe est Estelle

Pour le tableur, l'affichage=précision de calcul !!!

freddy · 19-10-2009 14:50:07

Re,

j'ai relu le sujet : faut pas s'emm..., et faire les claculs à la machine et répondre pas à pas aux questions, type :

f(0)=7 ; f(1) = 4 ; f(2)=2,87500 ; f(3) = 2.65489 ; f(4) = 2.64577 ; f(5) = 2.64575 ; f(6) =2.64574 ;

racine carrée de 7 = 2.64575 à 10E-5 près, donc ...

J'ai compris l'objectif pédagogique ; trouver une méthode heuristique simple pour calculer la racine carrée du nombre y sans passer par la fonction racine carrée de la calculatrice (qui doit avoir ce programme en mémoire !!!)

ça consiste précisémment à passer par f(x+1)= 0.5((x) + y/f(x)) avec f(0) = y.

D'où la dernière question : approximer la racine carré de 5 !!!

Joli sujet (quand on l'a lu avec attention, oups !)

Tu confirmes ?

Dernière modification par freddy (21-10-2009 14:31:04)

Estelle · 19-10-2009 15:09:36

re je vous l'avais dit c'est compliqué je suis en troisième mais la franchement je comprends rien

yoshi · 19-10-2009 15:25:50

Salut,

Après tous mes calculs théoriques, j'en ai été venu à la même conclusion...
Sa calculette va lui donner 10/12 chiffres ce qui est largement suffisant pour la précision demandée 10^-5... Sinon les calculs deviennent vite imbuvables, sauf à utiliser un langage de programmation et la formule mise au point pour obtenir la fraction...

Donc,

ESTELLE,

TU NE DOIS PAS PANIQUER !
C'EST EN FAIT ASSEZ SIMPLE...
VOILA CE QUE TU VAS FAIRE : TU OUBLIES TOUT CE QUI PRECEDE ET TU SUIS LES INSTRUCTIONS CI-DESSOUS :
calcul de f(1) --> f(0+1) = (7+7/7)/2 = 4
calcul de f(2) --> f(1+1) = (4 +7/4)/2 = ....
Pourquoi fait-on le calcul comme ça ?
Rappel de la formule donnée [tex] f(x + 1) = {1 \over 2}\left(f(x) +{7 \over f(x)}\right)[/tex]
Je réexplique encore (des fois que ce soit encore nécessaire).
Q. On t'a donné f(0) = 7, pour quoi faire ?
R. Pour démarrer les calculs si on remarque que :
[tex]f(1) = f(0 + 1) = {1 \over 2}\left(f(0) +{7 \over f(0)}\right)= {1\over 2}\left(7 +{7 \over 7}\right)= {1\over 2}(7 +1)=4[/tex]
[tex]f(2) = f(1 + 1) = {1 \over 2}\left(f(1) +{7 \over f(1)}\right)= {1\over 2}\left(4 +{7 \over 4}\right)= {1\over 2}(4 +1,75) = 2,875[/tex]

Je te propose maintenant de ne pas avoir à retaper le résultat à chaque fois dans ta calculette grâce à la touche Ans (abréviation de Answer = Réponse, en anglais).
En effet, appuyer sur la toucha Ans t'évite d'avoir à retaper le résultat précédent, c'est bien pratique s'il y a beaucoup de chiffres.

Donc, avec ta calculette, tu calcules d'abord (7 + 1)/2 pour avoir le 1er résultat, c'est à dire 4 : tu as donc f(1) = 4.
A partir de maintenant, tu n'as plus à t'embêter, tu vas taper tel quel à chaque fois (tu vas recommencer 5 fois) :

[tex](Ans\,+\,7 \div Ans\;)\div 2\;EXE[/tex]

--> La 1ere fois tu obtiens f(2)
--> La 2e fois tu obtiens f(3)
--> La 3e fois, tu obtiens f(4)
--> La 4e fois ti obtiens f(5)
--> La 5e fois tu obtiens f(6)

La première fois, ta machine utilise f(1) = 4 pour calculer f(2), la 2e fois elle utilise f(2) pour calculer f(3)...etc
Et tu notes dans ton tableau, au fur et à mesure, arrondis à [tex]10^{-5}[/tex] près, les résultats lus sur ta calculette...

C'est clair ?

Et n'oublie pas de revenir, hein ? Ca ne vaut pas la peine d'avoir peur de l'exercice : il peut maintenant être fait en 20 min.

@+

PS
Tu as quelle marque et quel modèle de calculette ?

freddy · 19-10-2009 16:08:57

Re,

je te plussoie, cher ami !

[EDIT]
by Yoshi

Précision à l'intention d'Estelle (au cas où) freddy signifie par là qu'il approuve totalement ce que je te dis de faire dans le post précédent...

Estelle · 21-10-2009 14:23:27

oui j'ai compris merci pour votre aide

Estelle · 21-10-2009 14:51:03

b.je constate que f(5) et f(6) ont le meme résultat et que l'arrondi a 10 moins 5 de racine carrée de 7 est le meme résultat aussi de f(5) et f(6) donc je constate que f(5) et f(6) sont la racine carrée de 7.

mais pour le 2.a. je comprends pas

yoshi · 21-10-2009 15:53:15

Bonsoir,

Tu aimes te faire peur...
Un énoncé de Maths, c'est comme un bon livre, ça se lit, se relit, se relit encore jusqu'à ce qu'un petit mot vous frappe...

Conjecturer = Penser, deviner, trouver.
Alors, je vais réécrire les questions 1. et 2. de la même façon, pour que tu puisses comparer...

1. Le but de cette question est de tester " une méthode pour obtenir les cinq premieres décimales de racine carrée de 7 à la calculatrice sans utiliser la touche : racine carrée., à l'aide de la formule :
f(x+1)=1/2[f(x)+7/f(x)] et f(0) = 7 ........... [tex]f(x+1)={1 \over 2}\left(f(x)+{7 \over f(x)}\right)[/tex]

2. Le but de cette question est de tester " une méthode pour obtenir les cinq premieres décimales de racine carrée de 5 à la calculatrice sans utiliser la touche : racine carrée., à l'aide de la formule :
f(x+1)=1/2[f(x)+?/f(x)] et f(0) = ? ........... [tex]f(x+1)={1 \over 2}\left(f(x)+{? \over f(x)}\right)[/tex]

Compare bien les deux phrases et trouve par quoi tu dois remplacer le ? dans la question 2.
Vois-tu ce que tu dois faire ?

@+

freddy · 21-10-2009 16:02:17

Bonjoir,

hummm, chère Estelle, si en plus tu lisais les interventions des deux spécialistes qui t'encadrent avec humour et affection quasi-paternelle depuis led ébut de ta demande d'aide, tu aurais déjà trouvé les réponses.

Yoshi a raison : il faut aussi (et avant tout) lire, relire et rerelire ... avant de relier !

Bises sur le front.

Estelle · 21-10-2009 16:38:22

oui vous avez raison je veux aller trop vite j'ai fini cet exercice je remplace le 7 par 5 et je fais pareil en faisant un autre tableau et je trouve la racine carré de 5 : 2,23607 arrondi a 10 moins 5 encore merci

yoshi · 21-10-2009 17:03:22

Bonsoir

Alors pas si dur, en fin de compte, une fois"traduit" l'énoncé... ?
Tu vois, c'est cela que tu dois apprendre à faire devant un exercice !

@+

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Exercice sur les fonctions et les racines carrées [Résolu]

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