Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sebfr

Membre

Inscription : 17-10-2009

Messages : 13

relation d'ordre [Résolu]

Bonjours à tous,

On considère, sur l’ensemble N², la relation suivante, pour tout couples (n,m) et (n',m') de N². On utilise la notation n Λ m = min(n,m).
(n,m) < (n',m') équivaut (n Λ m < n' Λ m') ou (n Λ m = n' Λ m' et n≤n' et m≤m').

Sa veut dire quoi ce symbole Λ???

1) Montrer que tous couples (n,m) et (n',m') de N² tels que (n,m) < (n',m')on a nΛm≤ n'Λm'.

2) Montrer que < est une relation d'ordre N².

3) Les éléments (0,1) et (1,0) sont-ils comparables? la relation< est elle totale sur ensn²??
comparer ( 1,1) et (1,2).

4) Montrer que N² admet un plus petit élément et le déterminer. Existe-t-il un minorant de {(1,0);(0,2)}?

5) Déterminer les élément de N² qui sont plus grands que (1,2) et les représenter graphiquement.

J'ai beau relire mon cours mais je ne sais pas du tout comment faire?! J'ai pas d'exercice types entre les mains!
J'aurai besoin de votre aide!

Merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : relation d'ordre [Résolu]

Salut,

le nom de code du symbole est wedge, soit : [tex] \wedge [/tex].

Donc on définit la relation suivante sur N& : < de la manière suivante :

[tex] (n,m) < (n',m') \Leftrightarrow \,\,soit\,\, (n\,\wedge \,m) < (n'\wedge \,m') \,\,ou\,\, bien\,\, (n\,\wedge \,m = n'\wedge \,m' \,\,et\,\, \{n \le n' \,\,et\,\, m\le m'\}) [/tex]

La définition de cette relation est claire, même si longue à écrire en Latex "à la main" (Java sous Mac ne fonctionne pas ?)

C'est un exo. type que tu dois essayer de faire, car simple.

Par exemple, la première question énonce que si on a un couple (n,m) < (n',m') alors, en posant

[tex]n=min(n,m) \,\, et\,\, min(n',m') [/tex] (on pourra ensuite intervertir) :

soit n < n', soit n=n' => min(n,m)¡Ümin(n',m')

Supposons maintenant que :

[tex]n=min(n,m) \,\, et\,\,m'=min(n',m') [/tex] alors soit n <m', soit n = m' et {n <= n' et m=m'}, donc on a bien min(n,m) <= min(n',m') 

Tu comprends mieux ce qu'il faut faire, et surtout ce qu'on peut en déduire pour le reste de l'exo. ?

Par exemple, reprends la définition d'une relation d'ordre et regarde si cette relation la vérifie. (voir http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … erel.html)

On te dit "vérifier", tu en déduis que c'en est une est donc tu te "casses la tête" pour bien le montrer.

Ensuite, on te fournit le contre exemple parfait pour que tu montres que ce ne peut être une relation d'ordre total ... Par contre, (1,1) et (1,2) sont bien comparable puisque  min(1,1)=min(1,2)  avec 1=1 et 1<2 !

Aprés, le reste vient assez bien, quoique un peu plus difficile.

Par exemple, montrez que N² admet un plus petit élément. Cet élément, s'il existe, est tel que tous les autres éléments lui sont supérieurs ou égaux. Or min(a,b) <= min(c,d) si et seulement si :

a <= b et a<=c et a <= d ;
b<= a et b<= c et a<= d ;

Donc a=b et c'est le plus petit élément de N.

Nous savons que dans N, c'est la définition de 0. Dons la borne inférieure est le couple (0,0).

De fait, les éléments {(1,0); (0,2} admet bien comme minorant la borne inférieure (0,0). il n'a pas d'autre minorant, puisque les deux points ne sont pas comparable.

Enfin, on peut maintenant définir les éléments supérieurs à (1,2).

il s'agit de tous les couples (a,b) de N² tels que : a>=1 ET b>= 2.

Sur un graphique représentant a en abscisse et b en ordonnée, ce sont tous les points dans le quadrant supérieur droit délimité par la verticale d'équation a = 1 et l'horizontale d'équation b = 2.

PS : tu es en quelle année de quoi ? Je te pressens en L1 de MASS, non ?

Dernière modification par freddy (20-10-2009 15:57:50)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : relation d'ordre [Résolu]

Re,

juste pour signaler que j'ai terminé son petit problème (peux pas laisser trainer une exo. pas fini, c'est socio-culturel chez moi, comme de laisser sa place assise de métro à une dame !!!)

Bb

Dernière modification par freddy (20-10-2009 15:58:51)