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zip

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Inégalité non triviale [Résolu]

Bonjour,
J'ai rencontré par hasard un petit problème d'algèbre linéaire dont voici l'énoncé :
Soit A une matrice de taille n à coefficients complexes telle que le module de chacun de ses coefficients diagonaux soit supérieur strictement à la somme des modules des coefficients de la ligne à laquelle il appartient.
c.à.d : |A(i,i)| > somme(|A(i,j)|, j différent de i)
Il s'agit de démontrer que
Produit(m(i)) <= |det(A)| <= Produit(M(i))
Où
m(i) = |A(i,i)| - somme(|A(i,j)|, j>i)
M(i) = |A(i,i)| + somme(|A(i,j)|, j>i)

Voilà, Merci d'avance

Fred

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Re : Inégalité non triviale [Résolu]

Salut,

  C'est difficile, non? Tu as quelle connaissance de base sur les matrices?
J'ai une idée de preuve, mais en Spé ou en L2, c'est quasiment introuvable.

Etape 1 : Si A est une matrice, alors on peut prouver le théorème de Gerschgorin :
  les valeurs propres de A sont inclues dans [tex]\bigcup_{i=1}^n \{z\in\mathbb C;\ |z-a_{i,i}|<\sum_{j\neq i}a_{i,j}\}[/tex]
La preuve n'est pas trop difficile, en utilisant la caractérisation de l'inversibilité par le noyau.

Etape 2 : On note [tex]d_i=\frac{1}{|a_{i,i}-\sum_{j\neq i}|a_{i,j}| }[/tex],
on note [tex]D=diag(d_1,\dots,d_n)[/tex]
en on applique le résultat précédent à B=DA.
On trouve que toutes les valeurs propres de B sont de module au moins 1,
donc que son déterminant est de module au moins 1.

Etape 3 : On retourne à A.

Fred.

freddy

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Re : Inégalité non triviale [Résolu]

Salut,

Etape 1 : Si A est une matrice, alors on peut prouver le théorème de Gerschgorin :
  les valeurs propres de A sont inclues dans [tex]\bigcup_{i=1}^n \{z\in\mathbb C;\ |z-a_{i,i}|<\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\}[/tex]
La preuve n'est pas trop difficile, en utilisant la caractérisation de l'inversibilité par le noyau.

...

Fred.

Salut,

j'ai fait une petite modif. à la belle idée de démonstration de Fred.

Ciao.

PS : pour ceux que ça interessent : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … erschgorin

Dernière modification par freddy (12-10-2009 16:33:08)

zip

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Re : Inégalité non triviale [Résolu]

Merci beaucoup !!!!!!!!!!!!!!!!