Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hola

Membre

Inscription : 04-10-2009

Messages : 1

espace métrique

Bonjour.
J'ai un exercice à faire et je bugue sur certaines questions. Pouvez-vous me donner un coup de pouce svp?
1) Soient un espace métrique (X,d) et un ensemble E inclus dans X. Montrer que E est d-fermé si et seulement si il contient tous ses points limites.
J'ai réussi à montré pour d-ouvert avec les points intérieurs. Mais pour celui-là j'avoue que je ne sais quoi faire.

2° Montrez par un exemple que l'intersection infinie (mais dénombrable) d'ensembles ouverts n'est pas nécessairement ouverte.

Les deux questions sont séparées
Merci d'avance.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : espace métrique

Salut,

je pense qu'il faut que tu reprennes soit ton cours, soit un livre de maths (topologie par exemple) : ce ne sont que les conséquences simples de définitions d'ouverts et de fermés (espace topologique et espace métrique).

Tu peux aussi faire un tour dans la bibiliothèque de Bibmath, en haut à droite.

Bb

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : espace métrique

Bonjour,

  Voici un exemple facile pour le 2. I_n=]-1/n,1/n[ est un ouvert pour chaque n>0. Que vaut l'intersection des (I_n)?
Pour le 1., les conseils de Freddy sont très appropriés.
Je t'aide quand même un peu.

Dans le sens direct, si [tex](u_n)[/tex] est une suite de E qui converge vers l, alors
l ne peut pas être dans le complémentaire de E, car celui-ci est ouvert et contient donc un voisinage de l.
En particulier, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite seraient dans ce voisinage.

Réciproquement, tu dois montrer que le complémentaire est ouvert. S'il ne l'est pas, tu peux prendre a un point
de ce complémentaire tel que, pour tout r>0, la boule de centre a et de rayon r contient un point de E.
Pour r=1/n, tu considères [tex]u_n[/tex] un tel point (dans E et dans la boule). La suite converge vers a, et donc a est élément de E. Contradiction.

Fred.

Lfounoune

Invité

Re : espace métrique

si E contient ts les pts limites  et on sait que qlq soit la limite   [tex]\in[/tex]   [tex]\bar{E}[/tex]   d ou E[tex]\bar{E}[/tex] Donc ferme