Romeo et Juliette version 2009 - II Le retour...

yoshi · 30-07-2009 12:47:17

Re,

Plus difficile cette fois...
C'est la suite de l'histoire.
La famille Capulet n'ayant pas vu d'un bon oeil, les rencontres avec Romeo, le trisaïeul a ressorti son vieux tromblon chargé avec du sel scrongneu et s'en est allé cribler le postérieur de Romeo, lui laissant ainsi un souvenir cuisant. Le grand-père, lui, ayant ressorti du grenier sa panoplie du parfait petit chimiste prit de gros risques pour confectionner quelques centilitres de Nitroglycérine, et s'en alla gaillardement faire sauter le petit pont de bois cher à Maxime le grand ami de Romeo... Ah mais !

Juliette et Roméo décidèrent de se revoir quand même, au milieu d'un nouveau pont [CD], placé cette fois de telle façon que RD = CJ...
Mes questions, avec les mêmes conventions que l'énigme précédente :
CH = ?
RD = CJ = ?

@+

freddy · 30-07-2009 18:52:18

Salut yoshi,

dis voir camarade, au 30 juin ou premier juillet 2009, aurais tu 72 ans ?

Je n'en dis pas plus ...

yoshi · 30-07-2009 19:24:25

Zdrass'tié tovarich,

???
Ia nié panimaiou...

@+

freddy · 30-07-2009 20:30:32

Re tovarich

Ben c'est simple : si tel était le cas, j'en aurais déduit que tu étais né en 1937,5. J'ai raison, non ?

++

yoshi · 31-07-2009 10:45:52

Salut,

Euh, probable que je n'ai pas tout compris, mais tant pis, je vais faire une réponse naïve : oui un peu plus parce qu'il y a un mois de passé...
Sauf que je n'ai pas 72 ans. Dans une décennie peut-être...

Quel rapport avec l'énigme posée ?
(Quoique, je l'ai déjà écrit, dans un "Rallye Sciences" à l'intention des 3e -et ça remonte loin- figurait cette question du 3e type : "Eve et A. Quel rapport avec le préservatif ? Des mauvais esprits avaient spontanément répondu : uls ne s'en servaient pas... La vraie réponse était évidemment tout autre)

Donc, la digression terminée, je repose ma question : quel rapport avec le sujet ? Un message subliminal donnant la réponse ? Dans ce cas, elle est bien cachée et je ne la retrouve pas...

Sinon, personne n'a d'idée simple ? Quelqu'un veut une indication (qui serait sybilline, bien sûr, vu la simplicité du sujet) ?
freddy, un commentaire ?

@+

freddy · 31-07-2009 11:23:14

hi,

sur ce site m'intéressent les sujets de maths posés et les approches pédagogiques des réponses apportées. A ce propos, j'ai bien aimé le post de Barbichu à propos de Nino et Mirza.

J'ai accepté de ne pas répondre aux deux intéressants sujets sur les histoires d'amour des irréductibles corses anglais, mais je n'ai pas hésité à noircir un bout de papier pour trouver les solutions ... La seconde m'a paru singulièrement amusante, mais il est vrai que c'est le cadet de mes soucis !!!

Eve et A : bien sûr, il sert à fabriquer les french letters ...

yoshi · 01-08-2009 12:22:37

Bonjour,

Pas d'amateur ? Je donnerai la réponse dans le courant de la semaine prochaine, alors...

@+

freddy · 01-08-2009 17:00:32

'jour !

CH =4 - KD non ?
Et KD = 1937,5 KM non ?

yoshi · 01-08-2009 17:57:49

Salut,

CH = 4 - KD, oui bien sûr !
Je viens de refaire mes calculs...
Sur la base JH=0,5 km, RK = 1,5 km, CD = 0,01 km.
On est bien d'accord sur ces valeurs ?

Oups, j'avais même pas vu ! freddy Quand tu écris 1937,5 km, tu veux dire 1937,5 m bien sûr...

Je vais reprendre -une fois encore- mes calculs pour voir pourquoi j'ai un écart de [tex]2\times 10^{-34}[/tex] cm entre les deux trajets CJ et DR... Tout ça pour dire que je ne suis pas d'accord avec 1,9375 km pour DK (pas loin de 200 m)...

@+

Dernière modification par yoshi (01-08-2009 19:34:08)

yoshi · 01-08-2009 19:36:42

RE,

Ah, je crois comprendre où tu veux en arriver en disant que CH = 4 - KD... Je pensais que tu enfonçais une porte ouverte ! :-)
Mais non, tu as dû résoudre une équation du 2nd degré se ramenant au 1er degré.
En 4e (puis en 3e pour les calculs), c'est exclu !

Donc, je précise mes questions :

Saurez-vous trouver une construction géométrique simple des points C et D, puis l'utiliser pour calculer CH et DK, et enfin CJ et DR ?

J'ai trouvé le pourquoi de l'écart [tex]2\times 10^{-34}[/tex] cm ... Anecdotique ! Cet écart est artificiel et dépend du moment d'une division.

@+

Barbichu · 02-08-2009 12:37:00

Hello,
ils sont marrants ces problèmes.
J'ai l'impression que personne ne pense à mettre de côté un élément parfaitement inutile ...
Sinon, DK = 1750m ...
++

Dernière modification par Barbichu (02-08-2009 12:37:15)

yoshi · 02-08-2009 12:57:09

Salut ô grand barbichu,

Tout à fait exact concernant la valeur trouvée et la présence d'un élément perturbateur...
Pouvait-il en être autrement ?
Intéressante aussi (même si elle est très simple) est la justification, après construction, de l'exactitude de l'affirmation CJ = DR

Nerosson, Golgup and co... pas tentés de vous y coller ?

Je cherche une méthode de calcul niveau 3e actuels, parce que l'aspect géométrique est du ressort des 4e anciens programmes (on ne demandait pas de calculs d'ailleurs), mais aussi du niveau actuel...
J'ai trouvé 2 méthodes :
- géométrie analytique (comme on disait avant) : plus du prog actuel de 3e, parce que les équations de droites sont maintenant liées à la notation de représentation graphique de fonction affine. Donc exit les conditions de parallélisme et d'orthogonalité,
- équation du 2nd degré se ramenant à une équation du 1er degré : plus rapide, mais limite de programme.

Je n'ai pas dit mon dernier mot, je vais continuer à réfléchir dans le sens de la simplicité...

@+

Barbichu · 02-08-2009 13:37:48

Bonjour mon très cher yoshi,
moi ma méthode géométrique c'est :
3 * thalès + triangles semblables (je ne sais pas à quel programme c'est)
0 calcul symbolique
ça t'intéresse ?
++

yoshi · 02-08-2009 16:31:55

Salut ô vénérable (et vénéré, sinon ça vaut pas le coup) Barbichu,

Merci pour ta suggestion.
J'ai regardé mon dessin d'un peu plus près : l'idée d'employer ce bon vieux th de Thalès ne m'avait encore pas effleuré... Pourquoi diable donc ?
M'enfin, en regardant de plus près, et avec un point intermédiaire supplémentaire, je crois avoir vu tes triangles semblables...
Programme de 1ere, les triangles semblables...
Mais qu'à cela ne tienne, Ces triangles sont tous deux rectangles et "opposés par un sommet"...
Adoncques avec un cht'i coup de trigo, je calcule la tangente de l'angle dans l'un des triangles et m'en ressert dans l'autre.
Un p'tit coup de Thalès.
Et je finis par trouver CH = 5/4 = 2,250 km. Et KD = 1,750 km...
Mon décalage de [tex]2\times 10^{-34}[/tex] entre les deux calculs de distance, JC et DR, venait du fait que dans un cas, le calcul fait était :
[tex]{\sqrt{85}\over 4}[/tex] et dans l'autre cas, je prenais la racine carrée du quotient de 85/16 sans m'en être aperçu et la calculette windows est allée très loin dans les décimales...
Idiot ! (moi, pas la calc !)

freddy, tu peux remballer définitivement tes 1,9735 km !
Tu as certainement pris une valeur erronée dès le départ, je ne vois pas d'autre explication : tu as dû avoir l'esprit trop vif pour ton âge ;-)

@+

Barbichu · 02-08-2009 16:55:48

re,
tiens oui, ça revient exactement au même de parler de la tangente, donc voila qui est fait.
Et tu devais vouloir dire CH = 5/4 + 1 = 9/4 et donc KD = 7/4
Sinon, moi j'ai factorisé le 1/4 et comparé les carrés, pas besoin de calculette : 9² + 2² = 7² + 6² = 85
++

yoshi · 02-08-2009 17:53:44

'lut,

oui, exact 9/4...

Tiens, pas bête la factorisation par 1/4 !
En plus dans un cas, j'ai travaillé avec des fractions, dans l'autre avec des décimaux... pfff !!!

Bon, j'attends la réaction de freddy, voire la participation d'autres, puis j'explique la construction géométrique et sa justification.
Un élève de 3e, même bon, ne me semble pas en mesure de faire l'exercice (avec calculs) sans questions intermédiaires, quand bien même le niveau des calculs soit peu élevé.

Enfin, je dis ça, mais c'est juste pour le fun, parce que les sujets à donner et les copies à corriger, c'est derrière moi... :-))

@+

freddy · 02-08-2009 19:57:02

Hi,

Ben voilà, je m'enduis la tête de cendres : j'arrive bien à KD = 7/4 et non pas à 31/16, résultat que j'avais vendredi pm sur un coin de papier de mon bureau, bureau sur lequel je suis le seul capable de retrouver n'importe quel document à condition que personne ne touche à rien !!!

Trop vif, non, mais faisant toujours trop de choses, simples en apparence, en même temps ... Je suis heureux quand je vérifie que c'est pareil chez d'autres collègues ... et que ça arrive même au grand Barbichu

Bis bald

PS : je viens de retrouver le bout de papier sur lequel j'avais écrit que (3/2)**2 = 9/4 et lu ensuite 3/4 ! ... A partir d'une certaine heure, je pense qu'il faut que j'arrête le café

Dernière modification par freddy (03-08-2009 11:26:30)

yoshi · 02-08-2009 20:27:25

Bonsoir,

Tiens, toi aussi ?
Quand j'étais étudiant en Cité U, une année, il y avait eu une "femme de ménage" sympa comme tout, toujours prête à rendre service et il lui arrivait de me dire : Ah, vous allez être content, j'ai mis de l'ordre sur votre bureau...
J'allais décemment pas lui faire des reproches...
Pourtant ce n'était pas vraiment un cadeau, je m'y retrouvais dans mon "désordre organisé" ; après, c'était nettement moins évident...

Alors pour les lecteurs, construction :
Je place le point R' tel que [tex]\overrightarrow{RR'} = \overrightarrow{DC}[/tex]
Ce qui me permet d'ignorer provisoirement la présence de la rivière assimilée à son bord, côté Juliette, représenté par la droite (D1).
Je joins [JR'] et le cherche le point C de (D1) équidistant de J et R';
Dit comme ça, il est évident qu'on doit chercher l'intersection de (D1) avec la médiatrice de [R'J].
J'appelle C le point d'intersection.
Je reviens alors au problème et j'abaisse de C la perpendiculaire à (D2) : j'obtiens le point D.
Et j'ai CJ = RD.
Pourquoi ?
J'ai construit R' tel que [tex]\overrightarrow{RR'} = \overrightarrow{DC}[/tex], donc je peux en déduire que : [tex]\overrightarrow{R'C} = \overrightarrow{RD}[/tex] et enfin que R'C = RD.
Or C est placé tel que CR' = CJ, d'où CJ = RD...

Au passage, pour le post (I) qui demandait le plus court chemin R-D-C-J, on plaçait donc le point C à l'intersection de (R'J) et de (D1). La justification de de plus court chemin dérive aussi de l'égalité vectorielle.

Et pour ceux qui s'étonneraient : les vecteurs ? en 4e ? Je répondrais oui vous avez + ou - raison :
- les vecteurs sont bien au programme, mais comme représentant une translation (un déplacement en 4e)
- il convient donc à ce niveau de dire que l'on construit R' tel que RR' = CD, (RR') // (CD) et R,R' dans le même ordre que D,C... Ainsi on pourra prouver que RR'CD est un parallélogramme et s'en servir...

Pour les calculs, je complèterai demain...

Barbichu, freddy avez-vous utilisé une autre méthode de construction ?

@+

freddy · 02-08-2009 20:37:12

'Re,

solution analytique, appris en troisième avec, aussi, des raisonnement purement géométriques amusants (conditions de similarité, ...) Mais Pythagore + équation simple second degré + identités remarquables + système d'équations linéaires avec résolution par élimination ou substitution étaient au programme, à mon souvenir (c'est vrai qu'on avait un niveau un peu au dessus de ce qui était demandé au BEPC)

Bb

yoshi · 03-08-2009 10:51:33

Bonjour,

Voici le dessin :

Et les calculs :
Méthode 1
Essai d'utilisation de connaissances minimum (4e et 3e)
On considère le triangle JOR' rectangle en O par construction.
M est le milieu de [OJ]
On trace (MN) // (OR')
On a aussi PM = PJ = JM/2 = JR'/4
[tex]JR'=\sqrt{OR'^2+OJ^2}=\sqrt{20}=2\sqrt 5[/tex]
Donc [tex]PM = JP = {\sqrt 5 \over 2}[/tex]
Dans le triangle PHJ, rectangle en H :
[tex]\tan \widehat P ={JH \over PH}={1 \over 2}[/tex]
Donc dans le triangle PCM rectangle en M :
[tex]\tan \widehat P ={CM \over PM}={1 \over 2}[/tex]
D'où :
[tex]CM={1 \over 2}PM={\sqrt 5 \over 4}[/tex]
Et avec le théorème de Pythagore :
[tex]CP^2 =CM^2+PM^2={5 \over 16}+{5 \over 4}={25 \over 16}[/tex]
D'où CP = 5/4 = 1, 250 km et enfin CH = 2,250 km
Et avec le théorème de Pythagore appliqué au triangle JHC rectangle en H :
[tex]JC^2=CH^2+HJ^2={81\over 16}+{1 over 4}={85 \over 16}[/tex]
Et enfin [tex]JC={\sqrt{85}\over 4}[/tex]

Méthode 2
Géométrie analytique (ex prog de 3e)
Je prends le point O comme origine des coordonnées, et les axes des abscisses et des ordonnées portés respectivement par les droites (OR') et (OJ)
Moyennant quoi on a :
R'(4;0), J(0;2) on en déduit M(2;1)
Equation de (D1) : [tex]y={3 \over 2}[/tex]
Coefficient directeur m' de (JR') : [tex]{-2 \over 4}=-{1 \over 2}[/tex]
D'où coefficient directeur de la médiatrice (D3) : m = 2
Equation de (D3) : y = 2x + p
(D3) passe par M = 1 = 4 + p
Equation de (D3) y = 2x - 3
Intersection avec (D1) :
[tex]{3 \over 2}=2x-3[/tex]
D'où [tex]HC = x = {9 \over 4}[/tex]

Méthode 3
"A la Golgup".
Je note CH = x, il vient DK =4 - x.
D'où avec le théorème de Pythagore :
[tex]JC^2= CH^2+JH^2 =x^2+{1\over 4}[/tex]
[tex]DR^2= DK^2+RK^2=(4-x)^2+{9 \over 4}[/tex]
Et on cherche x tel que JC = DR, donc tel que JC² = DR²
D'où résolution de :
[tex]x^2+{1\over 4}=(4-x)^2+{9 \over 4}[/tex]

Voilà...

@+

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