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kessai

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équation differentiel du 2nd ordre avec coefficient variable [Résolu]

bonjour
je suis un étudient en physique j'ai rencontrer un vrai problème qu'est le suivant
résolution analytique d'une équation du second ordre avec coefficient variable de la forme :
dT/dt=A*(d2T/dx2)+A*x*dT/dx
ou T varie en fonction de x et de t 
cordialement Merci

freddy

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Re : équation differentiel du 2nd ordre avec coefficient variable [Résolu]

Salut l'ami et bienvenue,

je vais coder en Latex ton problème :

[tex] \frac{dT(x,t)}{dt}=A \times \frac{d^2T}{dx^2}+A \times x \times \frac{dT}{dx} [/tex]

Je laisse faire les craks en équations différentielles, mais si tu pouvais à l'avenir coder aussi en Latex, la communauté te remercie par avance.

A propos, x et t sont définis dans quoi ?

Freddy

thadrien

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Re : équation differentiel du 2nd ordre avec coefficient variable [Résolu]

Salut,

Ce ne serait pas plutôt : [tex] \frac{\partial T}{\partial t}=A \times \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+A \times x \times \frac{\partial T}{\partial x} [/tex] ? C'est une équation aux dérivées partielles.

Soit T une solution de cette équation différentielle vérifiant toutes les propriétés qu'il faut pour pouvoir faire ce que l'on va faire. Je mets toutes les étapes car on s'y perd facilement (surtout moi, car j'ai le code Latex sous les yeux).

On fait une transformée de Laplace selon t, de paramètre p.

[tex]A \frac{\partial^2 L_t\{T\}}{\partial x^2} + A x \frac{\partial L_t\{T\}}{\partial x} - p L_t\{T\} + T(0^+)= 0[/tex]

Posons [tex]U = L_t \{T\}[/tex]. On obtient :

[tex]A \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + A x \frac{\partial U}{\partial x} - p U + T(0^+) = 0[/tex]

Il ne reste plus (doux euphémisme) qu'à résoudre cette équation différentielle. C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients variables. On commence d'abord par résoudre l'équation homogène :

[tex]A \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+A x \frac{\partial U}{\partial x} - p \times U = 0[/tex]

On fait une transformée de Laplace selon x, de paramètre s. Ici, c'est un peu plus dur car les coefficients ne sont pas constants.

[tex]L_x\{A x \frac{\partial U}{\partial x}\} = A L_x\{x \frac{\partial U}{\partial x}\} = - A \frac{\partial L_x\{\frac{\partial U}{\partial x}\}}{\partial s} = - A \frac{\partial (s L_x\{U\})}{\partial s} = - A L_x\{U\} - A s \frac{\partial L_x\{U\}}{\partial s}[/tex]

On obtient ainsi, en posant [tex]V = L_x \{T\}[/tex] :

[tex]- A s \frac{\partial V}{\partial s} + (A s^2 - A - p} V - A s U(0^+) - A \frac{\partial U}{\partial x}(0^+) = 0[/tex]

On résous l'équation homogène :

[tex]- A s \frac{\partial V}{\partial s} + (A s^2 - A - p} V = A s U(0^+)[/tex]

Il ne reste plus (euphémisme) qu'à résoudre cette équation, puis remonter le raisonnement (transformées de Laplace inverses, rajout des solutions particulières, etc...). Ne l'ayant pas fait, je ne suis même pas sûr que cela soit bien aisé.

Sinon, tu peux tenter une séparation des variables. J'ai testé, j'ai obtenu deux équations différentielles que j'ai pu résoudre avec un logiciel de calcul formel. La réponse est vraiment affreuse.

Comme tu es étudiant en physique, je suppose que tu es plus intéressé par le résultat numérique que par une expression analytique ? Dans ce cas, réécris ton problème sous forme de différences finies et flanque le tout dans Scilab et Mathlab. Ça va prendre un peu de temps, mais ce n'est pas très dur, et tu auras ta solution à la fin.

Dernière modification par thadrien (15-07-2009 10:34:15)

kessai

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Re : équation differentiel du 2nd ordre avec coefficient variable [Résolu]

bonjour

je remercie ceux qui me donnent une idée sur la résolution de cette équation
merci c'est gentil

karim

thadrien

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Re : équation differentiel du 2nd ordre avec coefficient variable [Résolu]

Salut,

Je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans la tentative de résolution avec Laplace : j'ai utilisé la transformée de Laplace ordinaire, ce qui suppose que les fonctions sont causales, ce qui n'est pas forcément le cas. Si tu veux utiliser cette méthode, il te faut la corriger en utilisant une transformée de Laplace bilatérale et utiliser les relations de cette transformée.

Désolé pour cette erreur.

Hadrien