determiner valeurs propre à partir d'un polynome annulateur. [Résolu]

mrpate · 11-07-2009 09:06:46

Salut j'ai un exo que j'arrive pas à resoudre alors je demande de l'aide:

Soit A une matrice 3x3 dans R, A non nul, et A^3= -A
On demande de montrer que 0, i, (-i) sont des valeurs propres de A où i est le complexe.

Je sais pas comment faire pour repondre.
Je sais seulement que:
-On a A(A-i*I)(A+i*I)=0 où I est la matrice identitée.

-Les valeurs propres 0,i,-i sont inclus dans les racines du polynome

-A est diagonalisable car le polynome est scindé à racines simple

Ensuite j'ai essayé de raisonner dans differents cas où on a seulement 2 vp ou 1 vp mais j'arrive à rien.
Voila j'espere que vous pourrez m'eclairer.

freddy · 11-07-2009 10:02:03

Salut,

je t'invite à consulter ce lien et les liens connexes, il sont très instructifs :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … mecar.html

J'aimerais savoir, dans ce que tu nous écris, ce que tu as découvert et ce que l'énoncé te donne comme informations.

A partir de là, je pourrais te guider (moi ou un autre) dans le raisonnement pour arriver à la réponse (en fait, les réponses sont dans les éléments que tu nous donnes, d'où ma question)

+

Dernière modification par freddy (11-07-2009 11:17:48)

mrpate · 11-07-2009 19:21:02

Desolé pour le retard j'etais sortie.

Alors l'enoncé est comme je l'ai ecrit précedement c'est-à-dire:

Soit A une matrice 3x3 de R, A non nul, et A^3= -A
Montrer que 0, i, (-i) sont des valeurs propres de A où i est le complexe.

Et ce que j'ai decouvert:

Les valeurs propres 0,i,-i sont inclus dans les racines du polynome annulateur A(A-i*I)(A+i*I)

A est diagonalisable car le polynome annulateur est scindé à racines simple.

Voila après pour montrer que les solutions du polynome sont tous des valeurs propres je sais pas trop.

Dernière modification par mrpate (11-07-2009 22:02:28)

freddy · 11-07-2009 22:45:31

Salut,

c'est bien ce que je pensais : tu as montré que 0, i et - i sont bien les trois valeurs propres de la matrice carrée d'ordre 3 A telle que [tex] A^3 = - A [/tex] puisque tu as réussi à montrer qu'elles étaient racines du polynôme annulateur.

Tu n'as besoin de rien d'autre, tu as utilisé les définitions et théorèmes de base sur les notions de vecteurs et valeurs propres d'un endomorphisme. C'est tout le sens à donner aux questions "Montrer ..." ou bien "vérifier que ...".

Bon courage.

mrpate · 12-07-2009 11:16:08

Mais par exemple, peut etre que i est une valeur propre double et 0 valeur propre simple ce qui ferait que -i n'est pas une valeur propre de A.
C'est pas possible?

freddy · 12-07-2009 12:30:33

Re,

bonne remarque. Alors maintenant, va jeter un oeil sur ce lien :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … olmin.html

mrpate · 12-07-2009 16:05:23

ok en invoquant le polynome minimal c'est fini mais pour le montrer c'est pas de la tarte si je puis dire.

Merci Freddy pour ton aide !!!
Ce qui me reste à faire est de revoir la demo du polynome minimal dans mon cours :D
A+

freddy · 12-07-2009 17:08:49

Re,

non, mais je chercherais plutôt à retrouver dans mon cours le lien entre polynôme minimal et polynôme caractéristique !

Bon courage.

thadrien · 13-07-2009 05:36:58

Bon, je vais te fournir un début.

Tu sais que [tex]X(X-i)(X+i)[/tex] est un polynôme annulateur de ta matrice. Comme le polynôme minimal de ta matrice divise ce polynôme, les polynômes minimaux possibles sont :

(1) X
(2) (X-i)
(3) (X+i)
(4) X(X-i)
(5) X(X+i)
(6) (X-i)(X+i)
(7) X(X-i)(X+i)

Il ne te reste plus qu'à en éliminer... Je te donnerai un autre indice si tu sèches vraiment.

Dernière modification par thadrien (13-07-2009 22:07:37)

thadrien · 13-07-2009 22:06:33

Le lien de freddy est invalide. Voici un lien valide : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B … omorphisme

Encore un tuyau, pour la route : ta matrice est à coefficients réels donc son polynôme minimal sera aussi à coefficients réels.

Dernière modification par thadrien (13-07-2009 22:10:53)

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