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manni

Invité

résolution de systeme linéaire avec paramettre [Résolu]

bonjour tous le monde,
je viens solliciter votre aide concernant la résolution d un système linéaire avec paramètre. en effet j'applique la méthode de gauss sans problème quand il ne ya pas de paramètre. ce qui me pose problème c 'est la fin de résolution d un système avec paramètre.

exemple :

x+y-z=1
x+2y+az=2
2x+ay+2z=3
la question est de déterminer les valeurs de a pour lesquelles le système:
1)n'admet pas de solution
2)a une infinité de solutions.

le début de ma résolution est :
{x+y-z=1         L1           { x+y+z=1       L1                    { x+y+z=1      L1
{x+2y+az=2     L2  =>    {y+az+z=1     L2->L2-L1   =>  {y+z(a+1)=1   L2  => ? à partir de la je bloque,je
{2x+ay+2z=3   L3           {ay-2y+4z=1  L3->L3-L1          {y(a-2)+4z=1  L3        ne vois vraiment pas comment finir la resolotion.

merci pour votre aide.
manni

freddy

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Re : résolution de systeme linéaire avec paramettre [Résolu]

Hello

je pense que tu t'es pris un peu les pieds dans le tapis dans tes transformations à propos de L1.

Je reprends comme toi

x + y - z = 1       L1
x + 2y + az = 2  L2 
2x + ay +2z = 3 L3

on va faire L1 = L1 ; L2 = L2-L1 et L3 = L3-2L1 et on obtient :

x + y - z = 1       L1
y + (a+1)z = 1    L2 
(a-2) y +4z = 1   L3

Ensuite, je refais les manip' suivantes : L1= L1 ; L2 = L2 et L3 = L3-(a-2)L2 et on obtient : (je corrige une erreur grâce à mon jumeau)

x + y - z = 1              L1
y + (a+1)z = 1           L2 
(a+2)(a-3)z = 3-a      L3

Il te reste plus qu'à finir le calcul, comme l'a fait mon jumeau !

Bis bald

Dernière modification par freddy (17-06-2009 22:42:53)

Fred

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Messages : 7 349

Re : résolution de systeme linéaire avec paramettre [Résolu]

Salut,

  Tu peux encore continuer un cran en faisant L3-(a-2)L2->L3.
Aux erreurs de calcul pres (je suis claque), la derniere ligne devient
(4-(a-2)(a+1))z=1-(a-2)
soit
(6+a-a^2)z=-a+3

Pour les a pour lesquels 6+a-a^2 est non nul, le systeme admet une unique solution.
Si c´est nul, c´est a dire pour a=3 et a=-2, la derniere ligne devient :

* pour a=3, 0z=0. Il n´y a pas de contraintes sur z, et on obtient une infinite de solutions.
* pour a=-2, 0z=5, et donc le systeme n´admet pas de solutions.

Fred.

Edit : J´ai poste en meme temps que mon jumeau, et je n´ai pas lu ce qu´il a ecrit!

manni

Invité

Re : résolution de systeme linéaire avec paramettre [Résolu]

bonsoir les deux fred, ou plut tôt les jumeaux, merci pour vos réponses. avec vos explications j'ai pu comprendre la résolution de ce genre de système. finalement c est facile, quand on fait bien attention au erreurs  de calcules.
bonne soirée et encore merci pour votre aide.
manni