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BBMylo

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Colinéarité [Résolu]

ABC est un triangle quelconque. Les points M, N et P sont respectivement situés sur les droites (AB), (BC) et (CA).

On pose:
(vecteur)AM= x(vecteur)AB
(vecteur)BN= y(vecteur)BC
(vecteur)CP= z(vecteur)CA

En utilisant le repère (A; (vecteur)AB, (vecteur)AC), montrer que les points M, N et P sont alignés si, et seulement si:

xyz= (x-1)(y-1)(z-1).

Voila je bloque sur cet exercice. Pouvez vous m'aider svp. =)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Colinéarité [Résolu]

Bonjour,

Et ta promesse d'utiliser le Code Latex ?
Pffuiit ! Envolée ?...

Bon, venons-en à nos moutons.
Dans cet exercice [tex]\overrightarrow{AB}\;\text{et}\;\overrightarrow{AC}[/tex] jouent le rôle habituellement dévolu à [tex]\vec{i}\;\text{et}\;\vec{j}[/tex], c'est à dire de vecteurs unitaires...
1. Tu dois donc exprimer [tex]\overrightarrow{AM},\;\overrightarrow{BN}\;\text{et}\;\overrightarrow{CP}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}\;\text{et}\;\overrightarrow{AC}[/tex],
2. Cela fait, tu vas exprimer [tex]\overrightarrow{MN}\;\text{et}\;\overrightarrow{MP}[/tex] (par exemple), en fonction de [tex]\overrightarrow{AB}\;\text{et}\;\overrightarrow{AC}[/tex], et ce grâce au 1.
3. Cela fait, tu seras en mesure de déterminer les coordonnées des vecteurs [tex]\overrightarrow{MN}\;\text{et}\;\overrightarrow{MP}[/tex] en fonction de x, y et z,
4. Si je pose [tex]\overrightarrow{MN}(u\;;\;v)\;\text{et}\;\overrightarrow{MP}(u'\;;\;v')[/tex], la condition de colinéarité est :
    M, N, P alignés [tex]\Longleftrightarrow uv'-u'v = 0[/tex]
    Donc à partir des coordonnées trouvées au 3., tu appliques la condition de colinéarité, tu développes et tu réduis,
5. Tu prends alors la condition donnée xyz=(x-1)(y-1)(z-1), tu développes, tu réduis et tu montres qu'il s'agit de la même expression algébrique...

Capito ?

Oui ? Aors, au taf, mon gars (mais reviens, avec quelque chose à se mettre sous la dent, si nécessaire !).

@+