Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pop

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produit scalaire [Résolu]

Bonjour, j'aimerai avoir une vérification sur cet exo.
Quatre points A, B, C, D sont disposés dans le plan de façon a former un rectangle (quand on
les prend dans cet ordre).
Si M est un point quelconque du plan, montrer que :
MA^2+MC^2=MB^2+MD^2 et que les vecteurs MB>.CD> + MC>.DB>+MD>.BC> = 0
[Indication : Si O est le centre du rectangle, on pourra remplacer tous les vecteurs par des
sommes ou des differences de vecteurs ayant O pour origine.]

je ne suis pas sûr pour la démonstration de la 2e expression que l'on doit montrer:
MB>.CD> + MC>.DB>+MD>.BC> = 0

Je trouve
L'expression à prouver est une propriété générale dans un quadrilatère (MBCD ici) on a pas besoin de la perpendicularité des vecteurs
MB>.CD> +MC>.DB> +MD>.BC> = ?

Je modifie le 2e terme
MC>.DB> = (MB>+BC>).(DM>+MB>) =
MB>.DM> +MB>.MB> +BC>.DM> +BC>.MB> =

MB>.(DM>+MB>+BC>) +BC>.DM> =
MB>.DC> +BC>.DM>

L'expression initiale devient
MB>.CD> +MB>.DC> +BC>.DM> +MD>.BC> = 0
d'où
MB>.CD> +MB>.DC> +BC>.DM> +MD>.BC>=
MB>.(CD>+DC>)+BC>.(DM>+MD>)=0
(puisque CD>+DC>=CC>=0 et DM>+MD>=DD>=0 (chasles))

merci

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : produit scalaire [Résolu]

Bonjour pop,

Et bienvenue sur BibM@th...
Tout d'abord d'où vient cette notation  >.  ? Jamais encore rencontrée !
S'il s'agit bien du produit scalaire ainsi que le titre de ton sujet l'indique alors je t'incite à l'avenir,
- soit si tu as le programme Java JRE installé de cliquer sur le bouton "Insérer une équation" qui est un éditeur de formules mathématiques, interface en Java entre toi et le langage LaTeX,
- soit de cliquer à côté sur Code Latex où tu auras la plupart des infos nécessaires à l'écriture directe en LaTex, ce que je vais faire...

C'est quand même plus clair comme ça :
[tex]\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MC }.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}=\, ?[/tex]
[tex]\overrightarrow{MC }.\overrightarrow{DB}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DM}[/tex]
Soit effectivement :
[tex]\overrightarrow{MC }.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DM}[/tex]
Oui, on a bien alors :
[tex]\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MC }.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}[/tex]
On factorise par paires :
[tex]\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MC }.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{BC}.(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}[/tex]

Rien à redire.

@+