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noyéedanslesmaths

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Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Bonjour à tous,

j'ai un devoir de mathématiques à rendre, j'ai toujours du mal à résoudre les questions car je me noie dans les formules et je panique, j'ai vraiment l'impression de ne rien comprendre. Je ne demande pas des réponses seulement des explications (comment faire pour répondre à la question que dois-je utiliser ...)

Le problème est le suivant:

Nous avons un bol ayant la forme d'un paraboloïde de révolution. Ce solide est obtenu par rotation de l'arc de parabole d'équation y=x² pour 0<x<1 autour de l'axe des ordonnées.
On se propose de calculer le volume V de ce solide. Soit un entier n>1; on partage ce solide en n tranches horizontales T1, T2,..., Tn hauteur 1/n.

1) Soit i un entier compris entre a et n. On désigne par vi le volume de la tranche Ti, située entre la hauteur (i-1)/n et i/n.
a) Vérifier que le rayon R du cercle situé à la hauteur i/n est tel que R²=i/n.
b) En encadrant Ti entre 2cylindres, pour tout entier i compris entre 1 et n, démontrer que:
(pi(i-1))/n²<vi<((pi)i)/n²
En déduire que:
(pi(1+2+...+(n-1)))/n²<V<(pi(1+2+...+n))/n2

2) Pour tout entier n>1, on pose:
an=(pi(1+2+...+n))/n²

a) démontrer que, pour tout entier n>1 :
V>an>V+pi/n

En déduire que la suite (an) converge vers le réel V.

b)démontrer que, pour tout entier n>1 :
an= ((n+1)pi)/2n

En déduire la valeur de V.

Merci d'avance

yoshi

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Bonsoir,

Et bienvenue sur BibM@th : t'as de la chance, ici on offre des bouées...
Bon je commence par une question. Tu as écrit :

1) Soit i un entier compris entre a et n

D'ou vient ce a ? Que vaut-il : il n'en est pas fait mention avant ?

En attendant, je suppose que ce n'est pas a mais 0 ce qui ne change rien à la suite pour l'instant.

1a) Le rayon R, n'est autre que le distance du centre (placé sur [Oy ) du cercle à l'arc de parabole.
Maintenant, matérialise cette distance sur ton dessin.
Que vois-tu ? Et bien, tu vois que cette distance n'est autre que l'abscisse du point de la parabole d'ordonnée R !!
Tu as [tex]y = x^2,\; x = R\;\; \text{et}\;\; y ={i \over n}[/tex], le résultat est immédiat !

1 b) Le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h est [tex]\pi R^2h[/tex]

Pourquoi parle-t-on d'encadrement entre 2 cylindres ?
Il y a une tranche de paraboloïde de révolution : cette tranche est coincée entre deux disques celui du dessous et celui du dessus dont l'aire est plus grande parce que son rayon est plus grand...
Imagine un un pot de fleurs : le disque du sommet est plus grand que celui du pied.
Là, c'est pareil...
Donc si tu empiles les disques identiques à celui du bas, en arrivant en haut tu as un cylindre contenu dans ta tranche de paraboloïde.
Maintenant si tu fais la même chose en partant du disque du haut et en allant jusqu'au disque du bas,  en arrivant en bas tu as un cylindre qui cette fois contient ta tranche de paraboloïde.
On peut donc encadrer le volume de la tranche de paraboloïde entre les volumes de ces deux cylindres...
Tu as besoin :
* de la hauteur de la tranche de paraboloïde (facile) qui sera la hauteur commune des deux cylindres
* des deux rayons : et là c'est la réponse à la question 1. a) qui va te servir...

Voilà de quoi démarrer : on verra la suite demain.

@+

Dernière modification par yoshi (08-05-2009 20:29:50)

noyéedanslesmaths

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

excusez moi je me suis trompé, i est compris entre 1 et n. en tout cas merci pour la réponse si rapide! Je reviendrais demain voir si vous avez réussit à m'aider.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Re,

Relis déjà ma réponse précédente, avance et reviens si nécessaire : tu seras tirée rapidement d'affaire (et capable de refaire et d'expliquer ton pb à qq ça ne fait pas de doute)...

@+

freddy

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Bonsoir,

yoshi a raison, tu as du bol d'être passée par là, on envoie des bouées. Je vais te montrer comment on se sert des réponses fournies par les questions pour glaner des points à un examen quand on sèche un peu sur la compréhension du sujet.

Par la question 2, on sait que :

[tex]a_n = \pi\frac{(1+2+ ... + n)}{n^2}[/tex]

Par la question 1_b, on sait que

[tex]a_{n-1} < V < a_{n}[/tex]

On a aussi par Q_2_a l'expression :

[tex]a_{n} = \pi\frac{(1+2+ ... + n)}{n^2} =\pi\frac{(1+2+ ... + n-1)}{n^2}+ \pi\frac{n}{n^2}[/tex]

Soit [tex]a_{n} = a_{n-1} + \pi\frac{1}{n}[/tex]

La question [tex]V > a_{n} > V+ \pi\frac{1}{n}[/tex] est mal écrite, car elle revient à dire 10 > 11 !!!

On devrait demander de vérifier que [tex]V < a_{n} < V+ \pi\frac{1}{n}[/tex] ce qui se démontre rapidement.

En effet, on a [tex]V < a_{n} = a_{n-1} + \pi\frac{1}{n} < V + \pi\frac{1}{n}[/tex]

On déduit la convergence de la suite vers V puisque cette suite est croissante et majorée Et minorée par V .La limite de la suite est donc la valeur recherchée.

Question 2_b :

on sait que [tex](1+2+ ... + n) = \frac{n(n+1)}{2}[/tex] donc on déduit :

[tex]a_{n} = \pi\frac{(n+1)}{2n}[/tex] qui converge vers  [tex]V = \frac{\pi}{2}[/tex], sauf erreur.

Pour le début du problème, yoshi a quasiment fait tout le travail.
Fais nous plaisir, essaie de le terminer maintenant. C'est ça la récompense d'un prof, lui montrer qu'on a vraiment compris en montrant qu'on sait faire.
On passe de l'acquis appris à l'acquis conquis, qui reste inaltérable.

Bon courage.

Dernière modification par freddy (08-05-2009 22:13:23)

noyéedanslesmaths

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Merci beaucoup pour tout !!! Devoir terminé. En fait il est plutôt rapide est la rédaction n'est pas très longue.
J'espère ne pas avoir à revenir trop souvent, mais si jamais je sais que je peux vous faire confiance.
Encore merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de maths sur le volume d'un bol [Résolu]

Bravissimo !

Tu vois les bouées, ça sert !

je sais que je peux vous faire confiance.

Merci.
Mais c'est plutôt toi qui nous a montré que tu étais digne de confiance et que tu n'étais pas si perdue que tu voulais bien le dire... :-)

@+ (peut-être)