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marielle

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Cercle, diamètre et angles égaux [Résolu]

bonjour
j'ai un petit problème je ne vois pas comment faire cet exercice et surtout la figure :
démontrez que si deux cordes menées d'une extremite d'un diamètre font avec ce diamètre des angles égaux, elles sont égales.
quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plait

Dernière modification par marielle (24-03-2009 18:28:33)

yoshi

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Re : Cercle, diamètre et angles égaux [Résolu]

Bonjour marielle,

Et bienvenue sur BibM@th...
Je j'aurais pas parlé de "LA" figure, sauf s'il y a une info que tu n'as pas donnée.
Quel est ton niveau Collège ? Lycée ? Les méthodes peuvent différer...
Je vois 4 cas de figure.
Je trace un cercle de centre O et de diamètre [AB].

1er cas.
Les deux cordes se nomment [AM] et [BN] et les points M et N sont de part et d'autre de [AB].
Je joins [BM] et [AN]. Les angles égaux sont [tex]\widehat{BAM}\;\;\text{et}\;\;\widehat{ABN}[/tex]
Les triangles ABM et ABN sont respectivement rectangles en M et N (théorème de 4e).
Les angles aigus [tex]\widehat{ABM}\;\;\text{et}\;\;\widehat{BAM}[/tex] d'une part et  [tex]\widehat{ABN}\;\;\text{et}\;\;\widehat{BAN}[/tex] d'autre part sont complémentaires (--> somme = 90° théorème de 5e)
or [tex]\widehat{BAM}=\widehat{ABN}[/tex].
Les deux angles  [tex]\widehat{ABM}\;\;\text{et}\;\;\widehat{BAN}[/tex] ont donc le même complément.
Deux angles qui ont le même complément sont égaux (théorème de 5e)
Donc on a : [tex]\widehat{ABM}=\widehat{BAN}[/tex]
O, ces deux angles égaux sont en position alterne-internes donc (BM)//(AN).
Idem pour (AM) // (BN)
Le quadrilatère AMBN a donc 4 côtés parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme.
De plus M est droit, donc AMBN est en réalité un...
Et les côtés [AM] et [BN] ont donc...

2e cas
Les cordes sont [AM] et [AN]. M et N sont de part et d'autre de [AB].
Je trace [OM], [ON] et [MN]...
O centre du cercle donc OA = OM = ON. J'appelle H l'intersection de [MN] avec [AB]
Les triangles AOM et AON sont donc isocèles de sommet principal O.
Conclusion pour les angles [tex]\widehat{OAM}\;\;\text{et}\;\;\widehat{OMA}[/tex] (1)
Conclusion pour les angles [tex]\widehat{OAN}\;\;\text{et}\;\;\widehat{ONA}[/tex] (2)
Gràce à (1) et (2), conclusion pour les angles [tex]\widehat{OMA}\;\;\text{et}\;\;\widehat{ONA}[/tex] (3)
Que dire du triangle MNO (et pourquoi ?)
Conclusion pour les angles [tex]\widehat{OMN}\;\;\text{et}\;\;\widehat{ONM}[/tex] (4)
Gràce à (3) et (4) que dire des angles [tex]\widehat{AMN}\;\;\text{et}\;\;\widehat{ANM}[/tex] ?
Nature du triangle MAN ? (5)

Or dans un triangle ....(5) ABC de sommet principal A, les côtés [AM] et [AN] sont ...

3e cas
Les cordes sont [AM] et [BN]
1. Les points M et N sont du même coté de [AB] mais les cordes ne se coupent pas. Tracer [OM], [ON] et [MN].
Nature de MOA et NOB ? (1)
Comparer alors les angles [tex]\widehat{OMA}\;\;\text{et}\;\;\widehat{OAM}[/tex] (2)
Comparer alors les angles [tex]\widehat{ONB}\;\;\text{et}\;\;\widehat{OBN}[/tex] (3)
Déduire de (2) et (3) que  [tex]\widehat{MOA}=\widehat{NOB}[/tex] (4)

Nature du triangle MON ? (5)
On trace la médiatrice (AH) de la base [MN].
Dans le triangle MON .... (5) de sommet principal O, la médiatrice de la base est aussi la .... de l'angle au sommet...
Donc [tex]\widehat{MOH}\;\;et\;\;\widehat{NOH}[/tex] sont .... ?
En déduire que (OH) est aussi perpendiculaire à (AB)
Conclusion pour (MN) et (AB) ?
Donc MABN est un tra......
De plus on saiit que [tex]\widehat{MAB}=\widehat{NBA}[/tex], donc MABN est plus précisément un tra..... is.....
Et les deux côtés[AM] et [BN] sont donc .....

2. Les cordes [AM] et [BN] se coupent en H. Tracer [MN]
Comparer les deux angles inscrits [tex]\widehat{MAB}\;\;\text{et}\;\;\widehat{MNB}[/tex]
Comparer les deux angles inscrits [tex]\widehat{NBA}\;\;\text{et}\;\;\widehat{NMA}[/tex]
Puis comparer les 2 angles [tex]\widehat{MNB}\;\;\text{et}\;\;\widehat{NMA}[/tex]
En déduire la nature des triangles NHM et AHB.
Comparer alors les longueurs AH et GB d'une part  et MH et NH d'autre part.
Conclusion pour AM et BN ?

Tu dois sûrement avoir une info supplémentaire pour le placement des cordes, permettant de faire le tri parmi ces 4 cas de figure...

@+

marielle

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Re : Cercle, diamètre et angles égaux [Résolu]

merci à toi mais je n'ai pas d'informations autre que celle-ci alors je vais me debrouiller avec ce que tu m'as donné et encore merci beaucoup