Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sophie

Membre

Inscription : 27-02-2009

Messages : 2

Petit theoreme de fermat [Résolu]

Bonjour.
Je cherche à résoudre un exercice de specialité maths dont l enonce est le suivant :
x et y deux entiers compris entre 0 et 28.
soit f la fonction qui a x associe le reste de la division euclidienne de x^3 par 29.
Montrer que si f(x)=f(y) alors x=y.

Je pense qu'il faut partir de x^3 = y^3 modulo 29.
x^3-y^3=(x-y)(x²+xy+y²) =0 modulo 29
donc 29/(x-y) et la ce serait bon  OU 29/x²+xy+y² et la je ne voit pas comment faire

si vous avez des idées, merci de me les communiquer.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Petit theoreme de fermat [Résolu]

Bonsoir,

  Voici une possibilité :
de x^3=y^3 modulo 29, on déduit (x^3)^10=(y^3)^10 mod 29.
En utilisant le petit théorème de Fermat,
on déduit que x^30=x^{28}x^2=x^2 mod 29 et de même y^30=y^2 mod (29).
De x^2=y^2 mod 29,
on déduit 29|(x-y) ou 29|(x+y).
Dans le deuxième cas, on obtient y=-x mod 29 d'où, en mettant au cube, y^3=-x^3=-y^3 mod(29).

Ceci donne 2y^3=0 mod(29), soit 29|y^3 (car 29 et 2 sont premiers entre eux), d'où
29|y et donc y=0. Dans ce cas, on a aussi x=0, ce qui prouve le résultat voulu.

Ceci dit, c'est une méthode qui ressemble un peu à du bricolage, il y a peut-être mieux....

Fred.

sophie

Membre

Inscription : 27-02-2009

Messages : 2

Re : Petit theoreme de fermat [Résolu]

Merci beaucoup pour cette methode. Elle me plait assez