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Ariane

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Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Bonjour!
Je travaille sur un problèe dont voici le but: "déterminer toutes les fonctions f: R->R vérifiant:
f dérivable en 0 et f'(0)>0
et [tex]\forall [/tex](x,y)[tex]\in [/tex]R², avec 1+xy différent de 0, f(x)f(y)=f((x+y)/(1+xy))
on pose a=f'(0)>0"

Jusqu'ici j'ai montré que:
_ f(0)=1
_ [tex]\forall [/tex] x [tex]\in [/tex] ]-1;1[, f(x) différent de 0 et f(x) > 0
_ il existe g: R->R, continue en 0, g(0)=0 telle que f(x)-1= ax+xg(x)
_ f(x)-1 équivalent quand x tend vers 0 à ax
_ il existe un réel s de ]0;1[ tel que quelque soit x de ]0;s[, f(x)>1 et quelque soit x de ]-s;0[,f(x)<1
_f n'est pas continue en 1

Et là, question qui me laisse perplexe:
On considère un réel x  différent de -1,0,1
Montrer que: quelque soit h de R,
[tex]\left|h\right|[/tex] < [tex]\left|\left(1-x²)/x\right)\right|[/tex]=> [ [tex]\exists [/tex] y [tex]\in [/tex] R tel que x+h=((x+y)/(1+xy)) ]
Pour [tex]\left|h\right|[/tex] < [tex]\left|\left(1-x²)/x\right)\right|[/tex], former le taux d'accroissement de f entre x et x+h

Si quelqu'un pouvait m'éclairer... Ca serait très gentil!
Si par ailleurs vous pensez qu'il vous manque des données (dur de rendre compte d'un problème entier), n'hésitez pas a m'en demander!

Merci

Roro

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Bonsoir Ariane,

Pour montrer l'implication, le plus simple est peut être de raisonner " à l'envers" au début. Je m'explique :
Si un tel réel y existait alors on aurait nécessairement (un petit calcul simple)
[tex] y = \frac{h/x}{\frac{1-x^2}{x}-h} [/tex]
Il te suffit ensuite, lors de la rédaction de dire qu'on vérifie que cette valeur de y convient dès que h vérifie l'hypothèse...

Pour ce qui est du taux d'accroissement, il suffit d'utiliser ce qu'on vient de démontrer, ainsi que la propriété initiale de la fonction : [tex] f(x+h) - f(x) = f(x) (f(y)-1) [/tex]

Je n'ai pas vraiment réfléchi à comment utiliser ceci pour ton exercice même si j'ai une petite idée de la réponse finale... si tu as d'autres questions n'hésite pas à re-poster.

Roro.

P.S. Finalement, je pense voir comment conclure : tu montres ensuite que f est dérivable en tout point différent de 0, 1, -1. Et tu peux même obtenir une équation différentielle satisfaite par f (la méthode par laquelle j'y suis arrivée est un peu fine et "joue" avec les équivalents). Cette équation différentielle est relativement simple à résoudre. Peux-tu me dire si c'est la voie qui t'est proposée par la suite ?

Dernière modification par Roro (22-02-2009 22:00:51)

Ariane

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Bonjour!
Merci beaucoup pour votre réponse! Je ne voyais pas du tout d'où partir et je suis allée chercher dans le compliqué, alors qu'il ne fallait pas!

Par la suite je dois en effet montrer que f est dérivable sur R-{-1;1} et calculer f'(x) et réinvestir cette dérivée pour calculer la dérivée de g
g(x)= (exp(-(a/2)ln[tex]\left|\left(1+x)/\left(1-x)\right)\right)\right|[/tex]) * f(x)
dérivable sur I1=]-[tex]\infty [/tex];-1[[tex]\cup [/tex] I2=]-1,1[ [tex]\cup [/tex] I3=]-1; +[tex]\infty [/tex] [
et en déduire qu'il existe 3 constantes C1, C2, C3 telles que [tex]\forall [/tex] x[tex]\in [/tex] Ik
f(x)=Ck * exp((a/2)*ln[tex]\left|\left(1+x)/\left(1-x)\right)\right)\right|[/tex]
Serait-ce votre équation différentielle?

Je vois a peu près comment ça va se passer, mais je ne vois pas trop comment ce que vous m'avez expliqué peut m'aider à montrer que f est dérivable sur R-{-1,1} ... Vous auriez une idée?

Merci encore pour votre aide!

Roro

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Bonsoir,

Pour montrer que f est dérivable en x il faut prouver que le taux d'accroissement D=(f(x+h)-f(x))/h admet une limite lorsque h tend vers 0.

D'après la question précédente, étant donné x (différent de -1, 0 et 1) tu peux écrire
[tex] D = f(x) \frac{f(y)-1}{h} [/tex] où la relation entre h et y est donné par mon premier message.

Il faut donc montrer que D a une limite quand h tend vers 0, et donc connaître le comportement de y par rapport à h lorsque h est petit.

Je te laisse donc montrer que [tex] h\sim (1-x^2) y [/tex] lorsque y tend vers 0.

Tu en déduira ensuite que
[tex] D \sim f(x)\frac{1}{1-x^2} \frac{f(y)-1}{y}[/tex]
puis connaissant la valeur de f'(0)... je te laisse continuer !

Roro.

Ariane

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Pfiou! J'ai mis le temps, mais j'ai compri merci ^^
Mais du coup pour f'(x) je trouve juste   [tex]f'\left(x\right)=f\left(x\right)\,\frac{1}{1-x²}\,a\,[/tex]
C'est normal?
Si c'est ça c'est bon, je pense que je n'ai plus de problèmes!^^
Merci beaucoup de votre aide!

Roro

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Bonjour,

Oui, ça m'a l'air correct (mais attention, uniquement pour x différent de 0, -1 et 1).

Roro.

Ariane

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Re : Problème fonctions, dérivabilité, développements limités [Résolu]

Oui bien sur, il ne faut pas que j'oublie de le préciser! ^^
Merci encore! =)