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Fred

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Exercice sur l'intégration sur un segment (Song) [Résolu]

Dans son message original, Song écrivait ceci :

Bonjour tout le monde.
J'ai actuellement un petit problème pour résoudre un exo.

Il faut que je caractérise les fonctions f définies et continues sur J = [a,b] à valeurs réelles, qui vérifie |?f | = ? |f |.  (ce sont toutes deux des intégrales sur le segment J).

Alors intuitivement, je dirais que les fonctions qui ont le même signe (soit des fonctions négatives, ou positives) correspondent à ce que je cherche, mais pas la moindre idée de démonstrations ...
Ou peut-être que je me trompe ? :bide:

Merci pour les éventuelles réponses.

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Je lui ai répondu ceci, mais le serveur a planté :

Bonjour,

Ton intuition ne te trompe pas. Usuellement, on procède ainsi :

1. On prouve que si g est une fonction continue sur [a,b], positive, et d'intégrale nulle, alors
g est la fonction nulle.

2. On en déduit la réponse à ta question.
En effet, on peut supposer par exemple que l'intégrale de f est positive.
On a alors
[tex]\int_a^b |f|=\int_a^b f\implies \int_a^b |f|-f=0[/tex]
et la fonction g=|f|-f est positive. On peut lui appliquer la première question, ce qui signifie que
g est nulle, ou encore que f=|f|, ou encore que f garde un signe constant.

Bien sûr, on a reporté la difficulté sur 1. Mais peut-être as-tu une idée pour cette formulation plus facile. Un indice, si f(x_0)>0, alors il existe un intervalle [tex] [x_0-\alpha,x_0+\alpha] [/tex]
tel que, pour tout x dans cet intervalle f(x)>f(x_0)/2 (n'oublions pas que la fonction est continue).

Fred.