Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Janelle

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convergence d'une suite [Résolu]

Bonjour, je bute sur la fin d'un problème :

La suite u est définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par :

u=(1+1/(n^2))*(1+2/(n^2))*....*(1+(n-1)/(n^2))*(1+(n/(n^2))

On pose v=ln u

a) déduire de cette inégalité : x-(x^2)/2=<ln(1+x)<=x un encadrement de la suite v.
On admettra que [tex]\sum\limits_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

b) démontrer que la suite v est convergente. Quelle est sa limite?

c) en déduire que la suite u converge. Determiner sa limite.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

yoshi

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Re : convergence d'une suite [Résolu]

Bonjour Janelle,

Et bienvenue sur BibM@th...
Pfff... Je n'ai pas vraiment d'idées.
Si ton énoncé est bien celui-ci :
[tex]U_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right)[/tex]
je peux encore l'écrire :
[tex]U_n=\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)\left(\frac{n^2+2}{n^2}\right)...\left(\frac{n^2+n-1}{n^2}\right)\left(\frac{n^2+n}{n^2}\right)[/tex]
Soit
[tex]U_n=\frac{(n^2+1)(n^2+2)...(n^2+n-1)(n^2+n)}{n^{2n}}[/tex]
D'où
[tex]V_n=\ln(n^2+1)+\ln(n^2+2)+...+\ln(n^2+n-1)+\ln(n^2+n)-n\ln(n^2)[/tex]
Et j'ai pensé poser  x = n², mais la fin fait intervenir des racines... sauf si on suppose que ce qui est vrai pour x l'est pour n² et dans ce cas :
[tex]n^2-\frac{n^4}{2}\le \ln(n^2+1) \le n^2[/tex]
Mais de toutes façons, je n'ai pas d'idée pour la suite...
Voilà, en attendant que j'aie une illumination, tu n'as plus qu'à espérer que quelqu'un passe et ait la bonne idée et moi que ce qui précède t'ouvrira la voie.

@+

PS Si tu écris du code LaTeX sans l'encadrer par les balises [ tex] et [ /tex] (sans les espaces à l'intérieur des crochets) ton code sera affiché mais pas interprété, il a suffit que je les introduise dans ta formule et que j'ajoute une fraction à la fin pour que le résultat soit celui que tu vois.
Code LaTeX fraction : \frac{}{}
Code Latex grandes parenthèses : \left(   et    \right)

Janelle

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Re : convergence d'une suite [Résolu]

Merci Yoshi pour ta réponse rapide.
J'avais commencé de la même facon que toi mais je n'arrive pas à encadrer les autres termes de la suite v.
Je vais continuer à chercher, mais j'ai peur de ne pas avoir d'illumination !
Merci encore, bonne soirée.

Fred

Administrateur

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Re : convergence d'une suite [Résolu]

Bonsoir Janelle,

  Voici comment on peut procéder. On a, utilisant la propriété du logarithme [tex]\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)[/tex]

[tex]v_n=\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)+\ln\left(1+\frac{2}{n^2}\right)+\dots+\ln\left(1+\frac{n}{n^2}\right).[/tex]

On utilise la première inégalité suggérée par l'énoncé, [tex]ln(1+x)\leq x.[/tex] On trouve

[tex]v_n\leq\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}[/tex]
soit
[tex]v_n\leq \frac{1}{n^2}(1+2+...+n)[/tex]

J'imagine que si on te rappelle la somme des k^2, c'est que tu connais la somme 1+2+...+n. On trouve donc

[tex]v_n\leq \frac{1}{n^2}\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}[/tex]

Pour l'autre inégalité, on a
[tex]v_n\geq\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2} -\left(\frac{1^2}{n^4}+\frac{2^2}{n^4}+\dots+\frac{n^2}{n^4}\right)[/tex]

La première partie a déjà été calculée juste avant. Pour la seconde, on utilise la formule rappelée dans l'énoncé :

[tex]v_n\geq \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{n^4}\left(1^2+2^2+\dots+n^4\right)[/tex]
soit
[tex]v_n\geq \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{n^4}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^3}.[/tex]

Je te laisse ensuite réfléchir pour les autres questions, qui sont sans doute un peu plus faciles.... (par exemple, on
trouve que [tex]v_n[/tex] converge vers 1/2).

Fred.

Janelle

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Re : convergence d'une suite [Résolu]

Merci beaucoup, je viens de venir à bout de mon problème. Enfin!!
Je n'avais pas vu comment utiliser la deuxième formule, maintenant c'est compris, je suis contente.
Merci encore pour votre aide.
Janelle

yoshi

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Re : convergence d'une suite [Résolu]

Bonjour,

Argh... Je m'en veux, j'aurais dû le voir : je suis allé chercher bien trop loin ce que j'avais sous le nez !
Cette leçon vaut bien un fromage sans doute...

@+