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fibonacci

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équation "hybride" [Résolu]

Bonjour;

comment résoudre;

[tex]x^2+2^x=100[/tex]

remarque;

[tex]x^2+2^{x}=2^6+6^2=100[/tex]

on ne peut qu'écrire par identification que:

[tex]\left{x^2=6^2;2^{x}=2^6\text{ alors } x=6\right.[/tex]

Comment peut-on argumenter cette identification ?

Remarques sur certaines identifications

Sur la simplification des radicaux de la forme [tex]\sqrt{A\pm \sqrt{B}}[/tex]

On fait [tex]\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}[/tex]

Puis [tex]A\pm\sqrt{B}=a+b\pm2\sqrt{ab}[/tex]

Et on identifie [tex]A=a+b[/tex] et [tex]\sqrt{B}=2\sqrt{ab}[/tex]

Ici on regarde la dépendance par à une somme, un radical et on dit que..

Même dans la recherche des coefficients d’un polynôme présentant certaines propriétés on identifie
Les coefficients et les facteurs en [tex]x[/tex]

Genre [tex]Ax^n=(b+c)x^n[/tex] d’où on dit [tex]A=b+c[/tex] et cette identification permet de dire qu’il n’y a qu’un seul polynôme qui vérifiera toutes les propriétés cherchées.

Et pour terminer

Si je crée une équation

Comme ceux-ci

[tex]2^8=2^{x^{3}}[/tex]

et [tex]2^{x^{3}}-32x=0[/tex] je pourrai faire la même démarche que pour l’équation concernée.

Je suis conscient que je fais de « l’amalgame » ce n'est pas une démonstration.

Dernière modification par fibonacci (27-12-2008 15:06:19)

Fred

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Re : équation "hybride" [Résolu]

Bonsoir,

  Il n'y a pas de méthodes générale pour résoudre une équation de ce type.
Avec un peu de chance, on a une solution "très simple", comme 6 ici.
Sinon, on recherche une solution approchée.

Fred.

fibonacci

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Re : équation "hybride" [Résolu]

Bonjour; et merci

je sais qu'il n'y a pas de méthodes générales; mais ce que je voulais savoir surtout si j'avais "le droit d'écrire et  de faire de telles identifications"?

[tex]x^2+ 2^x= 2^6+ 6^2\to \left\{ \begin{array}{l}
x^2= 6^2\\
2^x= 2^6\\
\end{array} \right. \Rightarrow x = 6[/tex]

Dernière modification par fibonacci (28-12-2008 05:56:08)

Roro

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Re : équation "hybride" [Résolu]

Bonjour,

Tu ne peux effectivement pas écrire ces implications. Plus exactement, la première n'est peut être pas juste. C'est comme si tu écrivais
[tex]x^2+x=1+1\quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x^2=1\\&x=1\end{aligned}\right. \quad \Longrightarrow \quad x=1[/tex].
Dans le cas que je te montre ci-dessus, il est clair qu'on a "oublié" une solution (c'est facile de résoudre [tex]x^2+x=2[/tex]). Autrement dit, la méthode que tu proposes permet de trouver une solution mais tu n'es pas certain d'avoir obtenu toutes les solutions : les "implications" [tex]\Longrightarrow[/tex] que tu as indiquées sont vraies dans l'autre sens...
Pour montrer que tu as effectivement résolu ton problème il faut prouver qu'il existe qu'une seule solution (par exemple en étudiant la monotonie de la fonction [tex]x\mapsto x^2+2^x-2^6-6^2[/tex]).

Roro.

fibonacci

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Re : équation "hybride" [Résolu]

Bonsoir;

et merci.
J'aime bien ta démonstration.

Je suis conscient que l'on n'a pas toutes les solutions, mais ce qui me tenait à cœur c'est cette possibilité d'identification.