Forum de mathématiques - Bibm@th.net

imifleur

Invité

[Résolu] Cmt trouver le dernier chiffre de nombre ??

Voila mon exercice:
Trouver le dernier chiffre des nombres suivants :
6^1947     ;     9^1947     ;     3^1947     ;      2^1947

Si vous pourriez mexpliquer me donner des exemples, jserais ravie...
Merci!

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 158

Re : [Résolu] Cmt trouver le dernier chiffre de nombre ??

Tout repose sur le principe suivant : le dernier chiffre d'un nombre N est l'entier a compris entre 0 et 9
tel que N=10k+a, où  k est un autre entier...

Pour le premier exercice :
  6^2=36 a pour dernier chiffre 6.
  36^2=... a pour dernier chiffre 6.
  Il faut montrer par récurrence que 6^n a toujours pour dernier chiffre 6.
C'est vrai pour n=1. Si c'est vrai au rang n, alors 6^n=10k+6, où k est un entier.
Alors,6^(n+1)=6(10k+6)=60k+36=10(6k+3)+6... a bien pour dernier chiffre 6.

Second exercice :
  9^2=81.
  9^3=729
On retrouve que 9^3 a pour dernier chiffre 9. On va démontrer le résultat suivant :
pour tout entier n, 9^(2n+1) a pour dernier chiffre 9.
C'est vrai pour n=0.
Si c'est vrai au rang n, alors
  9^(2n+1)=10k+9.
  9^(2n+3)=81(10k+9)=10*(81k)+289=10*(81k+28)+9,
qui a bien pour dernier chiffre 9.
Comme 1947 est impair, 1947 s'écrit 2n+1, et le dernier chiffre de 9^1947 est 9.

Je te laisse faire les autres exemples. Si tu sais ce que c'est qu'une congruence,
on peut résoudre cet exercice avec ce vocabulaire et c'est sans doute plus commode.