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tamara

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équation et fonction rationnelle [Résolu]

bonjour à tous

je cherche de l'aide pour un exercice voila son énoncé:

une fonction F de courbe C est définie sur R par:

F(x)=a+(bx+c)/(x²+1)

où a,b,c sont des réels que l'on déterminera. d'autre part, la courbe C admet une asymptote horizontale d'équation y=2 en +l'infini
et la tangente à Cf au point A(0;-1) a pour coefficient directeur -4
la courbe Cf traverse 2 fois l'axe des abscisses

1.a calculer f'(x) en fonction de x, b, c

j'ai trouvé 0+(b+0)/(2x+0) donc b/2x est ce le bon résultat

b. en utilisant les informations données sur Cf déterminé les réels a, b, et c on donnera alors la forme de f(x)
   la je ne sais pas comment m'y prendre j'ai besoin d'aide
  ma prof ma donné le résultat qui est F(x)= 2+(-4x-3)/(x²+1) mais je ne sais pas comment on fait pour arriver à ce résultat

2.a vérifier que F'(x)=(4x²+6x-4)/(x²+1)²
la j'ai réussi j'ai trouvé le résultat

b. étudier le sens de variation de f
j'ai utiliser la dérivé pour faire le tableau

c.dresser le tableau de variation de F
  je ne sais pas quel est la différence entre le sens ou le tableau de variation pouvez vous m'aider

d. résoudre F(x)=o
je bloque quand j'arrive à (2x²-4x-1)/(x²+1)=0

svp aidez moi

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

svp c'est très important je dois rendre cet exercice il est noté j'ai vraiment besoin d'aide pour avancer

yoshi

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Bonjour,

Depuis ton dernier passage BibM@th a progressé : il est désormais le seul forum du genre où un "Editeur de formules mathématiques" est mis à votre disposition...

Comment ? Tu n'as pas remarqué le bouton "Insérer une équation"... Il est pourtant visible ! C'est Fred, notre admin,  qui va être déçu, lui qui a trimé pour vous offrir une interface agréable entre le Code LaTeX et vous !

1. a) Non, le résultat n'est pas bon.
Avec [tex]f(x)\,=\,a\,+\,\frac{bx\,+\,c}{x^2+1}[/tex],  la dérivée à chercher est du type [tex]\left(\frac{U}{V}\right)'\,=\,\frac{U'V\,+\,V'U}{V^2}[/tex] on est loin du compte...
b) Quand x tend vers +oo la courbe se rapproche de son asymptote d'équation y = a
En effet  [tex]\frac{bx\,+\,c}{x^2+1}\,\to\, 0[/tex] quand [tex]x\,\to\,+\infty[/tex], donc [tex]f(x)\,\to\,a[/tex]
Et comme on sait que l'équation de l'asymptote horizontale est y = a, alors a = 2
Ensuite 0 partir de f'(x) le coeff dir de la tangente (-4) n'est rien d'autre que f'(0)...

Je vais manger, je reviens

@+

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

pour la dérivé je trouve  [tex]\frac{\left[a\left(2x\right)+b\right]\prod^{}_{\left({x}^{2}+1\right)-\left[a\left({x}^{2}+1\right)+bx+c\right]\prod^{}_{2x}}}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}[/tex] et la est ce que je peux mettre en facteur x²+1 ou pas?
les signes bizarre c'était des multiplié j'ai un peu de mal a utiliser le programme

Dernière modification par tamara (09-11-2008 13:01:05)

tibo

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

bonjour, dis moi yoshi tu as l'intention de commencer tout tes message pareil, à la virgule près?

yoshi

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Re,

Ca dépendra un peu de à qui je m'adresserai...
Donc, pour l'instant, en gros, oui ;-)

@+

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

le 2x peut il etre mis en facteur et le x²+1 aussi ???

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Bonjour,

Ensuite 0 partir de f'(x) le coeff dir de la tangente (-4) n'est rien d'autre que f'(0)...

f'(o)=-4 c'est sa ??? je comprend pas très bien le raisonnement

yoshi

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Re,

Pour les ² comme tu dis utilise, par exemple au dénominateur, la séquence  : bouton parenthèses x bouton exposant  2  flèche droite touche +   1   flèche droite (pour sortir des parenthèses) bouton exposant 2.

La dérivée de a étant 0, chercher la dérivée de f(x) revient à chercher la dérivée e la fraction rationnelle seule...
Ce qui aurait dû donner
[tex]f'(x)\,=\,\frac{b(x^2+1)-2x(bx+c)}{(x^2+1)^2}\,=\,\frac{-bx^2-2cx+b}{(x^2+1)^2}[/tex]
Car avec
[tex]U\,=\,bx\,+\,c[/tex]  alors  [tex]U'\,=\,b[/tex] 
[tex]V\,=\,x^2\,+\,1[/tex]   alors   [tex]V'\,=\,2x[/tex]

Et f'(0) = b... ok ? D'où tu en déduis maintenant b...

Je continue...

@+

yoshi

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Re,

Je n'avais pas vu ton ton interrogation :

f'(o)=-4 c'est ça ??? je comprend pas très bien le raisonnement

Quel raisonnement ? C'est une propriété qui a dû être démontrée en cours. Tu dois la connaître !

Sinon, oui c'est ça !

@+

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

b=-4 et pour c qui doit etre égal a -3 mais on ne nous donne pas d'indication dans l'énoncé pour le savoir ah je crois qu'il faut que je fasse une équation car il disent dans l'énoncé que la courbe traverse 2 fois l'axe des abscisses donc je dois remplacer les lettres par les chiffres et je dois faire f(x)=0 et la je dois trouver le -3 C'est sa ??

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

c'est quoi le petit nom de cette propriété??

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

b=-4 et pour c qui doit etre égal a -3 mais on ne nous donne pas d'indication dans l'énoncé pour le savoir ah je crois qu'il faut que je fasse une équation car il disent dans l'énoncé que la courbe traverse 2 fois l'axe des abscisses donc je dois remplacer les lettres par les chiffres et je dois faire f(x)=0 et la je dois trouver le -3 C'est sa ??

j'ai trouvé c'est bon j'ai remplacé a et b par 2 et -4 et j'ai vu qu'on nous donné 1 point A(0;-1) du coup j'ai tout remplacé j'ai fait une équation et j'ai trouvé -3 j'ai réussi la question 2a mais pour la question b je seche car je ne sais plus ce qu'est le sens de variation ni meme ce qu'est un tableau de variation

Dernière modification par tamara (09-11-2008 14:18:28)

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

j'ai réussi a trouvé  c mais le probleme c'est que pour la question 2b on me demande de d'étudier le sens de variation de f(x) mais je ne me souviens plus de la méthode je suis allé sur le dico des maths mais sa ne m'a pas aidé  je ne comprend pas et c'est quoi la diffference entre le tableau de variation???

yoshi

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

Salut,

Le petit nom de la propriété ? Je ne sais pas si elle en a un...
Mais sur une courbe donnée, tu places un point A d'abscisse a et un point M différent de A, d'abcisse x, si sur la courbe tu rapproches M de A,  la droite (MA) tend vers une droite qui est la tangente en A à la courbe. D'accord ?
Et bien :
[tex]\lim_{x \to a}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,=\,f'(a)[/tex]
Bon, ce n'est pas suffisant, mais cette propriété a été vue au moment de l'introduction des dérivées. Tu as déjà dû calculer l'équation de la tangente en un point d'une courbe, non ?

Pour tes variations, c'est lié à ça :
si le coeff. dir. de la tangente en un point de la courbe est > 0, la fonction est strictement croissante,
si le coeff. dir. de la tangente en un point de la courbe est = 0, la fonction admet un extremum en ce point : la tangente y est horizontale...
Moralité : tu as besoin de ta dérivée...

Le sens de variation c'est juste justifier que la fonction croissante, décroissante et croissante.
Le tableau de variation, lui, est un ... tableau. Avec bien plus de pécisions
Il te faut un tableau de 3 lignes ;
1ere ligne 1ere colonne : x               
2eme ligne 1ere colonne : f'(x)
3eme ligne 1ere colonne : f(x)

1ere ligne 2e colonne  de -oo à + oo
Entre les deux, la (ou les) valeur(s) interdite(s) s'il y en a : ce n'est pas le cas., et les abscisses des extremums...
Pour les avoir, le dénominateur de [tex]f'(x)\,=\,\frac{4x^2+6x-4}{(x^2+1)^2}[/tex] n'étant jamais nul, tu vas devoir chercher les solutions de 4x²+6x-4 = 0. Tu les places
2e ligne 2e colonne
Comme 4>0, 4x²-6x+4 >0 à l'extérieur des racines <0 entre.  Tu tires des traits verticaux sous tes deux valeurs. Sur ces deux traits tu écris 0. tu auras donc + 0 - 0 +
et 3e ligne 2e colonne, tu traces flèche montante depuis le bord, puis flèche descendante, puis flèche montante.
Après tu dois placer les limites
Que x tende vers +oo ou -oo, f(x) tend vers 2.
Donc, 2 sont la valeur de départ de la 1ere flèche et la valeur d'arrivée de la dernière flèche.
Entre les deux, tu dois calculer la valeur de f(x) pour les x qui annulent la dérivée... Bon courage avec les racines...

@+

F'(x)=(4x²+6x-4)/(x²+1)²

tamara

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Re : équation et fonction rationnelle [Résolu]

marci merci et encore merci pour ton aide je pense qu'a partir de la je vais y arriver merci beaucoup