Forum de mathématiques - Bibm@th.net

miss du 42

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DM TS nombre complexe [Résolu]

Bonjour à vous, j'aurais besoin d'un petit conseil sur un DM de Maths, voici l'énoncé:

Le plan complexe est rapporté au repère (O, U, V ). On prendra pour unité graphique 2 cm.
1. Résoudre dans C l'équation : (z-2i)(z²-2z+2)=0
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle. justifier.
J'ai trouvé: z=2i soit z=2e i pi sur 2 et z'=1-i soit radical de 2 e -i pi sur 4
                                                        z''=1+i soit radical de 2 e i pi sur 4
Est-ce correcte?

2. Soient A (1+i) et B(2i)
A tout nombre complexe z différent de A on associe le complexe: z'=(z-2i)/ (z-1-i)
a. Soit (E) l'ensemble des point M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur.
Montrer que B appartient à (E).
Déterminer et construire (E).
J'ai trouver un cercle de centre I(1/2, 3/2) et un rayon de 1/radical de 2 sans le point A vu qu'il est exclu. mais j'ai un problème de construction donc je sais pas si c'est mon dessin de faux ou mon calcul. Si on trace un cercle passant par B, il passe forcément sur A? mais comme A est exclus on ne le met pas? Est-ce correcte?

b. soit (F) l'ensemble des points M d'affixe z tels que module de z=1
Derterminé et construire (F).

Là, j'ai obtenu une médiatrice du segment AB. c'est cela?

Voila merci de répondre et à bientot !!

tibo

Membre expert

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Bonjour,

pour la 1) les résultats sont bon mais illisibles.
essaye de te mettre au Latex, ou alors tu as la possibilité d'insérer une équation.
[tex] z=2i=2.e^{\frac{i.\pi}{2}[/tex]
[tex] z'=1-i=\sqrt{2}.e^{-\frac{i.\pi}{4} [/tex]
[tex]z=1+i=\sqrt{2}.e^{\frac{i.\pi}{4}[/tex]

pour le reste je n'ai pas encore vérifié les résultats, mais tu a le droit de dire l'ensembe solution est le cercle de centre I(1/2,3/2) de rayon R =[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] moins le point A.

J'essaye de vérifier et de te répondre dans la journée

[edit Fred]
J'ai corrigé une formule Latex

Dernière modification par Fred (10-11-2008 22:15:44)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Bonjour miss du 42,

Et bienvenue sur BibM@th le seul forum du genre, où un "Editeur de formules mathématiques" est mis à votre disposition...

Comment ? Tu n'as rien remarqué ? Le bouton "Insérer une équation" est pourtant visible... C'est Fred, notre admin,  qui va être déçu, lui qui a trimé pour vous offrir une interface agréable entre le Code LaTeX et vous !

Tiens, regarde.

J'ai trouvé: z=2i soit z=2e i pi sur 2 et z'=1-i soit radical de 2 e -i pi sur 4
                                                        z''=1+i soit radical de 2 e i pi sur 4

Et bien voilà ce que tu aurais pu écrire :
J'ai trouvé: z=2i soit [tex]z\,=\,2e^{i{\pi \over 2}}[/tex]   et  z'=1-i  soit  [tex]\sqrt 2 e^{-i{\pi \over 4}}[/tex]
                                                    z''=1+i soit [tex]\sqrt 2 e^{i{\pi \over 4}}[/tex]
Ca n'aurait pas valu le coup ? Tâche d'y penser la prochaine fois (si prochaine fois il devait y avoir)... ;-)
Bon réponse à ta question  : oui, c'est juste.

2. Là, j'ai un gros souci.
Si je prends z = 2i, je remplace z par 2i dans z' et j'obtiens z' = 0 ce qui est loin être un imaginaire pur conviens-en....
Par contre pour rester dans les affixes du même genre avec z = i, alors  [tex]z'\,=\,\frac{i-2i}{i-1-i}\,=\,\frac{-i}{-1}\,=\,i[/tex], on obtient bien un imaginaire pur...
Pour la suite, d'accord avec toi, on a [tex]\left(x\,-\,\frac{1}{2}\right)^2\,+\,\left(y\,-\,\frac{3}{2}\right)^2\,=\,\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2[/tex]
La solution est donc bien le cercle  de centre [tex]\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)[/tex] et de rayon [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] privé de A.
Quant à B(0 ; 2) avec mon entame de question, j'aurais dit qu'il faut l'exclure aussi...
Alors sur ce point précis, il y a quelque chose qui doit m'échapper (j'y pense pourtant depuis hier soir), ça doit être tellement évident que ça me crève les yeux...
Je reposterai lorsque j'y verrais un peu plus clair. Peux-tu cependant confirmer la forme de la question :
Montrer que B appartient à (E) ?
b) Oui c'est ça... d(M,A) = d(M,B)

@+

[EDIT]
Grillé par tibo

miss du 42

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Merci de m'avoir aider ! je confirme c'est bien Montrer que B appartient à (E). merci et j'essayerai de m'initier au code latex... désolé !

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Re,

Eh tibo, Galdinx, Fred, Barbichu... si vous passez par là
Avec [tex]z\,\to\,z'\,=\,\frac{z\,-\,2i}{z\,-\,1\,-\,i}[/tex]
oui ou non B(2i) appartient-il à l'ensemble des points d'affixe z tels que z' soit un imaginaire pur ?
J'en reste au même point que ce matin, je mets en cause l'énoncé.
Si z = 2i, alors z' = 0... S'pas ? Alors ?

@+

tibo

Membre expert

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

bonjour,

à première vue, je dirai que 0 n'est pas immaginaire pur.

Mais si je reprend mes livres de terminale:
- un nombre complexe de la forme 0+iy avec y réel est dit imaginaire pur.
Il est représenté par un point de l'axe des ordonnées, appelé axe imaginaire.

ou dans un autre livre:

- si z=x+iy, sa partie réele est x et sa partie imaginaire est y.

aucune des deux définitions n'interdit que y soit égale à 0

donc même si ça m dérange un peu, 0 est un imaginaire pur
donc B appartient à E

miss du 42

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Merci pour votre collaboration ! j'ai presque fini l'exo ! Par contre j'ai des difficultés à commencer le 3eme exo que voici:

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O,[tex]\vec u,\vec v[/tex] ) avec unité de graphique 4cm.
On considère le point A d'affixe z(a)=2+i et le cercle (C) de centre A et de rayon [tex]\sqrt 2[/tex] .
1. faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
2. a. Déterminer les affixes des points d'intersections de (C) et de l'axe (O, [tex]\vec u [/tex]).

si vous pouviez m'indiquer une piste pour me débloquer, merci

Fred

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Bonsoir,

  Ca n'a pas l'air si difficile...
On cherche les nombres complexes qui sont des réels (affixes de points de l'axe (O,[tex]\vec u[/tex])),
on les écrira [tex]x[/tex], et qui sont sur le cercle de centre A et de rayon [tex]\sqrt 2[/tex],
ie [tex]|z(a)-x|=\sqrt{2}[/tex].
On y va, en mettant au carré :
[tex]|(2-x)+i|^2=2[/tex]
on développe, on trouve une équation de degré 2 en x qu'on résoud...

Fred.

Incroyable! Plus rapide que Yoshi pour une fois!

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Salut,

J'admire l'élégace de la solution de Fred...
Cela dit, au vu de l'exercice précédent, il me semble que cette miss doit ccnnaître l'équation du cercle. Exact ou non ?
Si oui, voilà...
Les cordonnées du point A, centre du cercle sont A(2 ; 1)
Le carré du rayon vaut 2.
D'où l'équation :   (x - 2)p2 + (y - 1)p2 - 2 = 0
(p2 = puissance 2)

Aie!!! Là où je suis, je fais face à un système sous Linux et avec un clavier tactile sur lequel :
il 'y a pas la touche puissance et circonflexe,
il n' y a pas le petit 2
il n'y a  pas d'anti-slash (pour LaTeX, c'est rapé !)
il n' y a pas les touches fléchées
l'applet java de l'éditeur d'équation fonctionne mais hélas leur #@?!% de clavier ne répond plus....

Bref, c'est pas la joie !
Bon, je reprends : les points d'intersection cherchés sont ceux avec l'axe des abscisses et sont donc tels que y = 0 que je remplace dans l'équation donnée.
D'où :
(x -2)p2 + 1 - 2 = 0
Soit (x - 2)p2 - 1 = 0  qu'on sait résoudre en TS depuis belle lurette.
Et comme y = 0, les complexes représentant les affixes cherchées sont des réels purs, et lesdites affixes se résument aux abscisses trouvées...

Au fait Fred, ça me tourmente toujours, 0 est-il un imaginaire pur ?

@+

PS : le système auquel je suis confronté est composé en tout et pour tout d'un écran tactile 17" couplé à un tél...
Je viens de voir qu'il  dispose d'une prise USB : je vais me procurer un clavier USB et voir si ça marche.
Autre particularité : si je reçois un coup de fil et que je décroche, lorsque je raccroche je perds le message en train d'être rédigé...
Charmant !

Fred

Administrateur

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Salut,

  0 un imaginaire pur?
Je dirais oui (pour moi, les imaginaires purs sont les éléments de  [tex]i\mathbb{R}[/tex].
Mais tout cela n'est qu'une question de convention.

Fred.

miss du 42

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Re : DM TS nombre complexe [Résolu]

Merci beaucoup je n'ai plus penser à l'équation de cercle ! pourtant vu le déssin c'était si évident ! J'était parti sur tout autre chose qui n'avait rien donné d'ailleurs... Voila ben a la prochaine !!