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#1 27-10-2008 19:22:36
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
construction de R par Cauchy
Bonsoir,
L'année dernière, j'avais demandé une démonstration du théorère de la borne superieure, ce à quoi vous m'aviez répondu qu'il fallait revenir à la construction de R.
Après recherche, j'avais trouvé divers méthodes de construction de R, notament par les suites de Cauchy, mais je n'avais pas approfondi ne connaissant ni la définition, ni leurs propriétés.
Maintenant que je sais ce que c'est, je me repose la question de la construction de R, mais je ne vois pas en quoi les suites de Cauchy nous aident.
Auriez-vous une idée?
Hors ligne
#2 28-10-2008 01:37:34
- Barbichu
- Membre actif
- Inscription : 15-12-2007
- Messages : 405
Re : construction de R par Cauchy
Hello,
of course.
On peut définir [tex]\mathbb{R}[/tex] comme le complété de [tex]\mathbb{Q}[/tex], c'est à dire en ajoutant à [tex]\mathbb{Q}[/tex] les limites de suites de cauchy à valeurs dans [tex]\mathbb{Q}[/tex].
Plus formellement, on définit [tex]\mathbb{R}[/tex] comme le quotient [tex]\mathcal{C}/\sim[/tex] où
* [tex]\mathcal{C} = \{(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} / \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+,\;\exists N \in \mathbb{N},\;\forall n,m > N,\;|u_n - u_m| < \varepsilon\}[/tex] des suites de Cauchy à valeur dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]
* [tex]\sim[/tex] la relation d'équivalence (le vérifier), définie sur [tex]\mathbb{Q}[/tex] par [tex](u_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\;\Leftrightarrow\; \lim_{n\rightarrow +\infty}|u_n - v_n| = 0[/tex]
Ainsi [tex]\mathbb{R}[/tex] est l'ensemble des "suites de cauchy où l'on identifie deux suites de Cauchy ayant la même limite", ce qui revient à dire informellement que c'est l'ensemble des limites de suites de Cauchy à valeur dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]...
Ensuite on vérifie qu'on peut effectivement injecter [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathcal{C}/\sim[/tex], par le procédé suivant :
Si on appelle [tex]\tilde{u}[/tex] la classe d'équivalence de la suite de Cauchy [tex]u \in\mathcal{C}[/tex],
il suffit de définir l'injection [tex]i\;:\;\mathbb{Q} \rightarrow \left(\mathcal{C}/\sim\right)[/tex] par [tex]i(q) = \tilde{(q)}[/tex]
(où [tex](q)[/tex] est la suite constante prenant toujours la valeur [tex]q[/tex]).
On définit aussi naturellement la somme et la multiplication, le fait d'être "positif" (une suite de cauchy sera "strictement positive" si ses termes sont strictement superieurs à un rationnel fixé, à partir d'un certain rang, et le contraire est bien "être négatif ou nul" (ce qui est non trivial !)) : ceci qui crée une relation d'ordre totale sur notre nouvel ensemble.
On peut alors vérifier que notre nouvel ensemble est bien complet (Attention : non trivial aussi, il faut remplacer [tex]\mathbb{Q}[/tex] par [tex]\mathbb{R}[/tex] dans la définition des suites de Cauchy !)
On vérifie alors qu'on a toutes les propriétés usuelles de [tex]\mathbb{R}[/tex], y compris l'axiome de la borne supérieure.
Je vais me risquer :
Démonstration (théorème de la borne supérieure) :
Soit [tex]A[/tex] une partie non vide et majorée de [tex]\mathbb{R}[/tex]. On va montrer qu'il admet un sup.
C'est à dire qu'il existe [tex]s\in \mathbb{R}[/tex] majorant de [tex]A[/tex] tel, que [tex]\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+,\;[s-\varepsilon;s]\cap A \neq \empty[/tex]
Construisons la suite des [tex]u_n \in A[/tex] de la manière suivante par récurrence :
* On choisit [tex]u_1\in A[/tex] tel que [tex]u_1+1[/tex] majore A. (Si on suppose qu'un tel élément n'existe pas, on peut construire une suite tendant vers l'infini d'élements ne majorant pas A, ce qui contredit le fait que A est majoré).
* On a construit la suite jusqu'au rang n-1. On prend [tex]u_n\in A\cap [u_{n-1};+\infty[[/tex] tel que [tex]u_n+\frac{1}{n}[/tex] majore A. (même argument que pour n=1).
Soient n et m deux entiers, on a donc [tex]u_n \leq u_m + \frac{1}{m}[/tex] et [tex]u_m \leq u_n + \frac{1}{n}[/tex].
Donc [tex]|u_n - u_m| \leq \max(\frac{1}{n},\frac{1}{m})[/tex]. On en tire que [tex](u_n)[/tex] est de Cauchy, donc converge vers un [tex]s \in \mathbb{R}[/tex].
Cette suite est de plus croissante.
Ce [tex]s[/tex] vérifie trivialement la propriété de la borne supérieure : en effet, étant donné [tex]\varepsilon > 0[/tex], il suffit de prendre un [tex]n[/tex] tel que [tex]\frac{1}{n} \leq \varepsilon[/tex] pour qu'on ait [tex]u_n \in [s-\varepsilon;s]\cap A[/tex] (croissance + pté de constuction de [tex]u_n[/tex])
Q.E.D
Il peut y avoir des imprécisions dans ce que je dis, mais sur le principe c'est ça.
++
Dernière modification par Barbichu (28-10-2008 02:28:56)
Hors ligne
#4 29-10-2008 00:22:25
- Barbichu
- Membre actif
- Inscription : 15-12-2007
- Messages : 405
Re : construction de R par Cauchy
Re,
Comment définis-tu la notion de "suite convergente" alors ?
Convergente dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] ? => ça n'apporte rien, on reste dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]
Convergente dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ? => mais on n'a pas encore défini [tex]\mathbb{R}[/tex] !
Vois-tu ?
++
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