Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lilou

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démonstrations [Résolu]

bonsoir

j'ai un exercice pour demain et j'arrive pas a démontrer

construire un quadrilatere ABCD les points R S T et U sont les milieux respectifs des cotes (AB) (BC) (CD) et (DA)

quelle est la nature du quadrilatere RSTU ?JUSTIFIER la reponse par démonstration

j'ai dit que RSTU est un losange je sais pas si c'est juste et j'arrive pas a démontrer

yoshi

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Re : démonstrations [Résolu]

Bonsoir lilou,

Et Bienvenue sur BibM@th...
Je présume que tu es en 4e et que tu es en train d'étudier les règles concernant la droite des milieux...

Tu suis ce que je vais écrire avec ton dessin sous le nez, hein ?
Deux méthodes possibles
Si tu veux voir quelque chose tu as intérêt à tracer tes diagonales, et de plus (par ex) [BD] en rouge et [AC] en vert.
Puis repasser les côtés[RS] et [TU] en vert, et [RU] et [ST] en rouge...
Méthode 1
Maintenant tu examines les triangles ABD et BCD, dans lesquels figurent [RU] et [ST]...
Tu y vois deux milieux R et U, et un segment [RU] qui les joint, puis deux autres milieux S et T et le segment [ST] qui les joint...
Conclusion ? Il y a une règle dans la leçon qui permet de conclure si tu compares, dans le triangle ABD (RU) et
(BD), puis RU et BD et recommencer dans BCD avec (ST) et (BD), ST et BD.
A ce moment là tu vas pouvoir conclure pour (RU) et (ST), RU et ST...
Donc pour le quadrilatère RSTU (qui n'est un losange que si AC = BD)

Méthode 2
Maintenant, tu peux aussi ignorer les longueurs, mais dans ce cas travailler en plus (ce qui précède est donc à garder sauf la comparaison des longueurs) , de la même façon que ci-dessus, avec les triangles ABC et ADC...

@+

lilou

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Re : démonstrations [Résolu]

merci yoshi pour ton aide

j'ai fait comme ca
dans le triangle DAB U milieu de (DA)et R milieu de (AB) d'apres le theoremme n°1 dans un triangle la droite passant par les milieux de 2 cotés est parallele au 3eme coté alors (UR)//(DB) de meme pour le triangle DBC

dans le quadrilatere RSTU (RS)//(UT) et (RU)//(ST) or si un quadrilatere a ses cotés opposés paralleles alors c'est un parallelogramme donc RSTU est un parallelogramme

les diagonales d'un parallelogramme se coupent en leur milieux alors (US) et (RI) ont le meme milieu

est ce que c'est bon la démonstration ? merci

yoshi

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Re : démonstrations [Résolu]

Bonjour,

Oui ta démo est globalement correcte, si ce n'est que tu vas un peut vite à mon goût.
Après "de même dans le triangle DBC", il faudrait ajouter : d'où (ST) // (RU).
Puis :
Comme on a (RU) // (DB) et (ST) // et que lorsque deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre, alors (RU) // (ST).
Il te manquait ce maillon... Parce que, je cite, "de même pour le triangle DBC" c'est un peu vague. De même quoi ?
D'autre part, tu n'as pas cité le théorème des parallèles...
Ensuite, tu peux ajouter :
On montrerait de même, en utilisant les triangles ABC et ADC, que (RS) // (TU). Où as-tu fait mention de cela ?

Je dois te tirer -gentiment- les oreilles ;-) : fais attention aux notations !
Comment (US) et (RT) (pas RI) pourraient-elles avoir le même milieu ? Cette notation désigne des droites.
Parle donc des segments [US] et [RT]...

La deuxième méthode consistait à ajouter que RU = BD/2 (là, je parle des longueurs), puis que ST = BD/2.
Et que donc RU = ST.
Le quadrilatère (non croisé) RSTU ayant deux côtés [RU] et [ST] parallèles et de même longueur est donc un parallélogramme...

Voilà...

@+

lilou

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Re : démonstrations [Résolu]

merci pour ton aide