Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cailloux

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Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Je tenais à partager avec vous un exercice que m'a soumis un ami virtuel, Maître Géomètre.
Est donné un cercle $\Gamma$ de diamètre $[PQ]$ ainsi que deux points $A$ et $B$ intérieurs au cercle.
On cherche les extrema de la fonction $f\,:\,\Gamma\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $M\mapsto MA+MB$ :
1) Discuter le nombre de ces extrema et les construire lorsque $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $[PQ]$.

2) Même question lorsque $A$ et $B$ sont quelconques.
Un exemple avec deux extrema (il peut y en avoir davantage) :

Commentaires : la question 1) est accessible a un bon élève de terminale. La seconde est un peu plus délicate.
Dans tous les cas, des calculs sont indispensables mais il est nécessaire de les interpréter pour revenir à la géométrie et à des constructions.

Dernière modification par cailloux (08-06-2026 13:53:48)

Bernard-maths

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour à tous ! Bonjour cailloux (!)

C'est amusant à construire, et assez facile avec GeoGebra.

Peut-on faire de même avec un carré... une sphère, un cube ... ?

Bon amusement ...

Benard-maths

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour Bernard-maths,
Avant de se lancer ailleurs (le cas du carré est simple), il faut commencer par résoudre proprement ce problème.
En l'occurrence, GeoGebra est une aide mais ne "construit" rien. Dans ce forum de belle géométrie, il faut s'entendre sur ce que signifie le verbe construire$\cancel{!}$
Limitons nous à la question 1) (je ne me fais pas d'illusions pour la 2)) : GeoGebra nous permet de constater qu'on peut avoir 2,3 ou 4 extrema. Il est demandé de "discuter".
Autrement dit dans quels cas a-t-on 2,3 ou 4 extrema  ? Et les construire (dans le cas 4) avec règle et compas.
Je me permets de citer mon Maître :

Ce problème est un délicieux mélange d'Analyse et de Géométrie ...

Dernière modification par cailloux (Hier 13:59:15)