Encore une boucle ??

bridgslam · 03-09-2025 10:38:30

Bonjour,

Sur un vélodrome, N coureurs cyclistes, repérés par leur maillot, participent à un exercice:

- ils roulent tous à la même vitesse
- au moment du départ ils occupent chacun une position distincte.
- certains décident de rouler dans un sens, les autres dans l'autre sens.
- après le départ, lorsque deux cyclistes se rencontrent, ils repartent en sens inverse.

Montrer qu'au bout d'un moment ils se retrouvent tous dans leurs positions initiales, avec le même mouvement initial.

Ernst · 03-09-2025 11:05:49

Bonjour,

Si on imagine que les cyclistes ne font jamais demi-tour en se croisant, mais qu’ils se traversent comme des fantômes, chacun continue tranquillement son chemin à vitesse constante. Au bout d’un tour de piste, chaque cycliste est donc revenu exactement à sa place de départ, dans la même direction qu’au début.

Dans la vraie règle, deux cyclistes qui se croisent échangent en réalité leurs « rôles » : c’est comme si leurs maillots passaient de l’un à l’autre, tandis que leurs corps poursuivent leur route fantôme. Ainsi, les positions des corps restent celles du scénario des fantômes, et tout ce qui change, ce sont les maillots qui circulent de rencontre en rencontre.

Chaque paire de cyclistes de sens opposé se croise deux fois pendant un tour complet : au premier croisement, ils échangent leurs maillots ; au second, ils les récupèrent. Chaque maillot subit donc un nombre pair d’échanges et de changements de sens, ce qui fait qu’à la fin du tour, tout le monde retrouve son maillot et roule dans le même sens qu’au départ.

bridgslam · 03-09-2025 14:54:15

Bonjour,

Deux choses "clochent" dans l'idée de Ernst.
Ne pas avoir peur non plus de bien lire l'énoncé, afin de ne pas faire d'hypothèses inexistantes.
On peut prendre aussi éventuellement de petits nombres de coureurs, par exemple 3, du papier, un crayon, pour mieux visualiser.
Pour joindre l'effort de l'esprit à celui du corps, si on n'a pas peur de se fatiguer, avec des potes cyclistes, choisir un circuit et pédaler...
Mais ne pas oublier de changer de voie quand on rebrousse chemin... donc circuit sans circulation motorisée... mieux.

Bonne chance

Alain

Ernst · 03-09-2025 16:28:05

bridgslam a écrit :

Deux choses "clochent" dans l'idée de Ernst.
Ne pas avoir peur non plus de bien lire l'énoncé, afin de ne pas faire d'hypothèses inexistantes.
On peut prendre aussi éventuellement de petits nombres de coureurs, par exemple 3, du papier, un crayon, pour mieux visualiser.

Bonjour,

Tiens, je serais curieux de savoir lesquelles. Voici une animation de trois cyclistes qui permet de comparer les deux versions sur un cycle complet.
https://sites.google.com/view/ernst01/velodrome

Si tu pouvais expliquer ce qui ne va pas alors que les résultats sont identiques, cela m'éclairerait.

bridgslam · 03-09-2025 18:58:15

Bonjour,

Au bout d'un tour, deux cyclistes donnés qui ont échangé leurs dossards quand ils se sont croisés deux fois, ne se retrouvent pas nécessairement tous les deux avec leur dossard initial. Il y en a d'autres avant la fin du tour avec qui ils ont échangés.
A moins de ne pas avoir compris ton propos... ? et par ailleurs lesquels regroupes-tu par paires, notamment quand le nombre de ceux allant dans un sens diffère de celui de ceux allant dans l'autre... Par exemple avec 10 cyclistes, avec 3 en sens horaire, et 7 anti-horaire, intercalés à souhait.
Le but de l'énigme est de dire explicitement pourquoi au bout d'un certain nombre de tours, on aboutit au résultat décrit plus haut.
Ce n'est pas le cas à cette heure.

Ernst · 03-09-2025 22:22:07

bridgslam a écrit :

Au bout d'un tour, deux cyclistes donnés qui ont échangé leurs dossards quand ils se sont croisés deux fois, ne se retrouvent pas nécessairement tous les deux avec leur dossard initial. Il y en a d'autres avant la fin du tour avec qui ils ont échangés.

Bonsoir,

Bien sûr, on voit très bien dans la simulation que $a$ va endosser à plusieurs reprises le maillot de $b$ et de $c$ au fil de ses déplacements.

En fait c'est l'utilisation du mot 'tour' qui te gêne, c'est ça ? J'aurais dû parler de cycle complet ou préciser 'tour de jeu' pour ne pas laisser entendre tour de piste, c'est vrai. Fondamentalement, surtout avec la simulation, ça change quelque chose au raisonnement ?

bridgslam · 03-09-2025 23:52:34

Bonsoir,

Il faut heureusement être précis en mathématique, sinon on ne sait pas de quoi on parle du tout ( pour ne pas rentrer en contradiction avec la pensée bien connue de B.Russell, voir wikipédia...), perso rien ne me gêne tant que c'est limpide.
Soit tu évoques un tour, c'est donc pour moi un tour de circuit pour chaque cycliste, mais tu dis ensuite qu'il s'agit de "cycle complet", sans expliquer ce que tu entends par là:
un nombre entier de tours? Combien? une fraction?
Même choses pour les paires de cyclistes...
Bref ce n'est pas clair, et une simulation particulière dans un cas particulier ne constitue pas une preuve, puisses-tu en écrire une centaine.
Heureusement encore que ça marche sur ton exemple, sinon ça voudrait dire que le résultat à prouver est faux, et que j'ai posé sur le forum une énigme débile !!!
Au risque de me répéter, la question est d'expliquer pourquoi ça marche, en toutes circonstances.
Mais ta simulation doit t' aider à y répondre, normalement.

Je donnerai la solution détaillée en fin de semaine, au pire samedi.
Merci en tous cas de ton intérêt.

Ernst · 04-09-2025 08:34:09

Bonjour,

On se sera mal compris, voilà tout. Pour moi l’idée était de trouver un truc pour résoudre un casse-tête, un peu comme avec la mouche qui fait des va-et-vient entre deux trains qui se rapprochent et dont on évalue la longueur de trajet par le temps de vol plutôt que par une sommation de distances. Mon histoire de fantômes qui échangent leurs maillots réduisait le problème à des cyclistes qui continuent de tourner dans le même sens et qui se retrouvent finalement comme au début, c’était rigolo.

bridgslam · 04-09-2025 08:48:22

Bonjour,

j'ai trouvé un petit créneau de temps:

▼un lemme

▼la question des cyclistes

Merci aussi à Ernst pour sa jolie simulation colorée.
L'idée des "fantômes" était la pierre angulaire de la question, mais j'attendais juste que tu dises exactement pourquoi on retombe sur ses pieds, ce qui n'est pas trivial. En somme quitter un peu l'algorithmique et la programmation (*) pour aborder la question mathématique pure.
(*) domaines pour lesquels je tire mon chapeau ! Ce genre d'animation est faite en javascript ? en python (style Tkinter très pratique par exemple) ? Autre langage ?

Bonne fin de journée à tous

bridgslam · 05-09-2025 10:27:24

Bonjour,

@Ernst, à noter que si dans ton animation tu affiches plutôt dans le mode "fantôme" ou "échanges des maillots" le nombre de tours de cercle effectués par les cyclistes, on a directement l'ordre de la permutation associée aux échanges sur 1 tour individuel quand ça se termine.
Ainsi dans ton exemple on trouve n= 3 avec cet emplacement des coureurs, en suivant bien quand ils reviennent à leur place initiale...
(il suffit d'en suivre un seul, plus facile). De toute façon pour toutes les configurations ce sera inférieur à 6(1,2,3,ou 6), pas de quoi affoler le compteur :-) .
Intéressant: en inversant les sens de parcours ( option à rajouter su tu as du temps disponible), comparer les nombres de tours de circuit nécessaires obtenus dans chaque cas...

Au bout d'un tour dans le sens de ton animation, c'est le cycle
(1,3,2) en terme de permutation qui joue, càd qu'après un tour de circuit, la boule rouge porte le maillot que portait la verte, la bleue celui que que portait la rouge, la verte celle de la bleue, on retrouve bien l'ordre 3 vérifiable sur ton animation.
C'est le cycle inverse (2,3,1) qui joue si on inverse les sens de rotation des boules, l'ordre sera donc identique: il faut aussi 3 tours de piste pour revenir à la configuration initiale.
Sauf erreur ce sera général pour toutes les configurations ( nombre de boules, positions...). En effet, en inversant le sens de rotation des boules, les échanges de boules sont exactement les mêmes, il faut juste inverser complètement leur séquencement... et les permutations sur un tour sont donc réciproques l'une de l'autre pour un sens et l'autre.
Sinon quid de ma question programmatique: javascript, python, autres ... ?
A une époque maintenant lointaine, pour utiliser les outils graphiques de Tkinter avec Python, j'avais écrit un petit programme simulant un jeu interactif de pendu (base de données de l'ordre d'une cinquantaine de mots il me semble ), ainsi que pour tracer l'enveloppe convexe sur des points donnés du plan, ce qui m'avait bien amusé.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (05-09-2025 22:33:35)

bridgslam · 06-09-2025 03:28:46

Bonjour,

Je m'aperçois que mon post précédent est trop long, je résume donc les propriétés mathématiques intrinsèques à cette affaire de cyclistes, en privilégiant la briéveté.

- la permutation qui permet de suivre les échanges de maillots pendant un tour de piste donne la solution à la question initiale

- son ordre est le nombre de tours de piste à effectuer pour retrouver la situation de départ

- cette permutation est toujours paire ( les échanges par deux se répètent "twice")

- si les coureurs inversaient leur course, il s'agirait de la permutation réciproque, du coup le nombre de tours se conserve : les échanges par deux sont identiques mais leur séquence complètement inversée et il s'agit bien de la permutation réciproque.

En terme de prospective, on peut se demander si les permutations mises en jeu ne constituent pas un sous-groupe du groupe alterné sur N coureurs ( configurations ad libitum en sens de mouvement et dispositions relatives des cyclistes).

- dans le cas de la configuration de la simulation d'Ernst, la permutation est un cycle sur 3 coureurs, donc l'ordre 3, et la parité se voit ainsi directement. Sans calcul on est certain dans le cas général que les permutations ne sont pas toutes des cycles, sinon sur un nombre pair de cyclistes elles seraient impaires, contradictoire.

Pour optimiser la simulation, je propose à Ernst:

- de faire apparaitre le nombre de tours de piste des zombies.
- de faire disparaitre le nombre d'étapes, sans intérêt, et qui n'est pas un invariant du problème, contrairement au nombre de tours ( indépendant lui des distances géométriques)
- pouvoir switcher sur les sens des coureurs, dans l'idéal afficher simultanément les courses opposées ... afin de constater la simultanéité du résultat final ( le retour de tous les cyclistes dans l'état de départ)

A+

Dernière modification par bridgslam (06-09-2025 19:49:44)

Ernst · 07-09-2025 07:12:38

bridgslam a écrit :

L'idée des "fantômes" était la pierre angulaire de la question, mais j'attendais juste que tu dises exactement pourquoi on retombe sur ses pieds, ce qui n'est pas trivial. En somme quitter un peu l'algorithmique et la programmation (*) pour aborder la question mathématique pure.
(*) domaines pour lesquels je tire mon chapeau ! Ce genre d'animation est faite en javascript ? en python (style Tkinter très pratique par exemple) ? Autre langage ?

Bonjour,

Ce programme est principalement écrit en JavaScript, avec une structure de base en HTML et une mise en forme en CSS. Voici la répartition :

HTML définit la structure de la page :
- Le titre et les informations de la page
- Les éléments du vélodrome : cadran, contrôles, infos
- Les balises <script> pour inclure le code JavaScript

CSS (dans la section <style>) gère l’apparence visuelle :
- La disposition des éléments
- Les couleurs et le style des cyclistes
- La taille du canvas et des cyclistes
- Le style général des boutons, sliders et tableaux
(L’animation elle-même est gérée par JavaScript)

JavaScript est le cœur du programme :
- Création et gestion des cyclistes (position, direction, maillot)
- Animation des déplacements sur le vélodrome
- Détection des rencontres et gestion des interactions (demi-tour ou échange de maillots)
- Mise à jour du compteur d’étapes et du tableau des tours
- Démarrage, arrêt et contrôle de la vitesse de l’animation
- Vérification du retour à la position initiale
- Interaction avec l’interface utilisateur (boutons, curseur, case à cocher)

En résumé : HTML fournit la structure, CSS le style, et JavaScript l’interactivité et la logique de la simulation.

Pour ceux que cela intéresse, voici un modèle interactif qui permet de choisir le nombre de cyclistes et le nombre de ceux qui iront dans un sens. La disposition est aléatoire, mais cela permet quand même de se faire une bonne idée des mécanismes mis en jeu. En mode lent avec rebonds, on voit les cyclistes osciller en d’interminables va-et-vient. En mode rapide, on voit comment l’œil se plaît à suivre les mouvements continus et passe d’un cycliste à l’autre. Ce que propose le mode fantôme, c’est justement ce suivi.

https://sites.google.com/view/ernst01/velodrome1

Sur ce, j’ai bien compris que ce n’était pas ce que tu attendais ni en termes de rigueur ni en termes de preuve et donc en ce qui me concerne je m’arrêterai là.

bridgslam · 08-09-2025 08:58:13

Bonjour,

@Ernst, pas de souci, merci pour ce travail très soigné et les explications de développement.
Juste une remarque, de détail:
- ce que je souhaitais était je pense même moins élaboré que ta seconde version: pouvoir inverser le sens de rotation des fantômes sans rien changer de leurs positions relatives et remplacer le compteur de distance par celui des tours de piste des fantômes.
Cela faisait simplement un pont immédiat avec le cœur de la partie mathématique pure:

- ordre de la permutation liée aux positions et au sens de rotation
- inverse d'une permutation
- représentation concrète des permutations en produit de transpositions doublées
- parité

Bonne fin de journée

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 03-09-2025 10:38:30

Encore une boucle ??

#2 03-09-2025 11:05:49

Re : Encore une boucle ??

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Re : Encore une boucle ??

#4 03-09-2025 16:28:05

Re : Encore une boucle ??

#5 03-09-2025 18:58:15

Re : Encore une boucle ??

#6 03-09-2025 22:22:07

Re : Encore une boucle ??

#7 03-09-2025 23:52:34

Re : Encore une boucle ??

#8 04-09-2025 08:34:09

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#10 05-09-2025 10:27:24

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