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Le moing

Invité

Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Sur https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A … g%C3%A8bre

On a cette équivalence:

(iii) Tout polynôme non constant à coefficients réels admet au moins
une racine complexe

Estce moi ou bien cet énoncé est-il erroné ? Cas de X-1, X^2 - 1 ...et tant d'autre, at coefficients réels et pourtant sans racine complexe, d'une manière générale, produit de (X-Ai) avec Ai réels !

Rescassol

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour,

Tout nombre réel est un nombre complexe.

Cordialement,
Rescassol

Le moing

Invité

Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Oui bien sûr, mais là, je pense qu'ils voulaient vraiment parler de nombre complexe, donc avec partie imaginaire

bridgslam

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour

Cet énoncé signifie justement qu'une racine existe toujours, mais pas forcément réelle.
Question de langage, et il n'a rien d'ambigu ni d'erroné.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

jelobreuil

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour à tous, 
Bridgslam, je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi : du point de vue grammatical, il y a bien ici une ambiguïté, qui provient des deux fonctions possibles du mot "une" : est-ce un adjectif numéral cardinal, ou bien un simple article indéfini ? En fait, L l'expression "au moins" semble indiquer indique bien que "une" est un numéral, mais en fait, le sens de la phrase montre que cet "au moins" porte plus, ici, sur le verbe "admet" que sur le mot "une", qui n'est donc qu'un article.
Je reconnais qu'il est assez délicat de faire la distinction entre ces deux aspects. Il faudrait, selon moi, encadrer "au moins" de deux virgules, et donc écrire "... admet, au moins, une racine complexe". Et à l'oral, introduire une césure après "au moins" ...
Amitiés, JLB

Dernière modification par jelobreuil (30-08-2025 21:37:23)

Michel Coste

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour,
Je ne comprends pas l'intervention de @jelobreuil. La phrase dit que le nombre de racines dans $\mathbb C$ d'un polynôme réel non constant est supérieur ou égal à 1. C'est tout.

bridgslam

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour,

je dois reconnaître que moi non plus.

Déjà l'expression de l'énoncé en français éloigne notablement du sens mathématique (au moyen de périphrase(s) ou circonlocutions ) qui, lui, est limpide (mais parfois lourd) exprimé en toute rigueur: quantificateurs, relations, objets...
"P admet une racine r" relie P et r en attribuant à "admet" et "racine" un sens global consacré par l'usage, mais qui dans l'absolu ne veulent rien dire isolément. Moi à part dans mon jardin, je ne vois nulle part des racines en tant que telles.
Ces deux mots prennent seulement leur sens dans leur relation ( sens convenu par la communauté ).

Disons en tous cas que sans le "au moins" on pourrait penser que "une" signifie "exactement une" (qui n'est pas une notion de comptage du tout, d'ailleurs, sinon on ne pourrait jamais parler de fonction injective avant de construire le moindre cardinal).
Le "au moins" a le mérite de lever cette ambiguïté potentielle, disant sans rien compter non plus que l'ensemble des racines n'est pas vide.
Pour ma part, n' étant ni linguiste ni professeur de français, j'avoue ne pas me torturer l'esprit sur les rapports qu'entretiennent  la syntaxe du français et sa sémantique, même s'il est évident que la ponctuation, entre autre,  a une importance sans doute majeure, et que certaines phrases en français prêtent à l' ambiguïté mathématique (par exemple selon la force attribuée à certains mots ou la manière de les grouper sémantiquement ).
"Les moutons de la ferme Dupont sont les seuls surveillés en permanence par le berger Dupont, à cause des loups".
On peut comprendre que ce berger ne surveille pas les moutons de toute autre ferme voisine de ses champs, mais chacun de ses moutons
n'est ( hélas ) sans doute pas surveillé en continu... Donc le mot "seuls" peut inciter à penser en "négatif", sans désigner l'état de totalité pour ses propres moutons: par contre le "négatif" s'applique à tous les autres.

Après tout l'objectif de la discipline ne consiste pas à faire des prouesses en français (ou toute autre langue) mais de signifier des choses claires, interprétables d'une façon unique au sens mathématique.
A contrario le champ de connaissance lui-même, quel qu'il soit, et son vocabulaire associé (communément reconnu) permet de donner un sens précis à un jargon spécifique:

Par contre  les mathématiques appliquées à la linguistique c'est une autre histoire, et je n'y connais absolument rien.

Si je voulais pinailler je dirais que pour évoquer un nombre de racines au moins égal à un, il faut déjà connaître un peu de la théorie des polynômes pour savoir que ce nombre -entier- existe. Mais on ne réinvente pas la roue, heureusement !

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jelobreuil

Membre

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Messages : 208

Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonsoir à tous,
Michel, Bridgslam, j'ai simplement essayé de me mettre dans la peau de l'invité ouvreur de la discussion, et de comprendre comment, même après avoir lu la très pertinente réponse de Rescassol, il pouvait penser que la phrase pouvait être comprise autrement ...
Mais je reconnais volontiers que c'était assez capillotracté !
Néanmoins, sans être un linguiste ou un grammairien patenté, j'estime avoir, de par ma profession de traducteur technique, une certaine habitude des questions de ce genre et de leur traitement ...
Bien amicalement, JLB

bridgslam

Membre Expert

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Re : Question sur équivalences du théorème fondamental de l'algèbre

Bonjour,

Je ne comprends hélas aucun de tes deux posts vis à vis de la question initiale.
Pour le premier ( même modifié ):
-  dans un cadre mathématique, l'expression "au moins une" correspond au quantificateur existentiel "il existe", point barre, il n' y a pas de comptage à strictement parler.
Comme je l'ai déjà dit, la théorie des polynômes fait que cela coïncide ( cet homme possède au moins un chapeau...), mais
c'est après coup, on sort donc alors du contexte du pur langage
( que tu souhaites justement analyser si je comprends bien).

Pour le second je ne vois pas où tu veux en venir. non plus au final.

Sincèrement désolé.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (31-08-2025 06:25:44)

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