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JF

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Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

L'identité de Bezout nous dit que si a et b sont premiers eux, alors il existe x et y entiers relatifs tels que ax+by = 1.

Il semble que si 0<x<b alors x est unique.

Quelqu'un sait-il comment cela se démontre ?

Michel Coste

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Bonjour (ça ne mange pas de pain !),
Si $ax+by=ax'+by'=1$, alors $b$ divise $x-x'$. C'est la clé.

JF

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Bonjour,
Merci de votre réponse.
Vous voulez dire qu'on le démontre par l'absurde.
C'est à dire qu'on suppose qu'il existe un second couple (x', y') tel que ax' + by' = 1 avec x'<b
Dans ce cas, on a ax+by = ax'+by' =1
Alors a(x-x') = b(y-y')
Comme x, x', y et y' sont des entiers relatifs, (x-x') et (y-y') sont également des entiers relatifs.
Donc effectivement b divise a(x-x') mais je ne vois pas pourquoi il diviserait (x-x') ?

Michel Coste

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Ne connais-tu pas le lemme de Gauss ? https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ssthm.html

JF

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Ok. Donc d'après le lemme de Gauss, Si b divise a(x-x'), puisque a et b sont premiers entre eux, b divise (x-x').

Or, si on suppose que x et x' sont positif, on a : 0<x<b et 0<x'<b, donc -b<x-x'<b

Si b divise (x-x'), alors il existe n >0 tel que x-x' =bn

Je remplace dans l'inéquation, ça donne : -b<bn<b
Si je divise par b (entier naturel >0), alors -1 < n < 1
c'est vrai pour une seule valeur entière de n qui est n =0
donc x = x'

C'est ça ?

Michel Coste

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Oui, sauf que je prendrais plutôt $0\leq x < b$ : si $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux, il existe un et un seul $x$ et un et un seul $y$ tels que $ax+by=1$ et $0\leq x<b$.

On peut calculer directement sans utilisation du lemme de Gauss :$$ x-x'= x(1-ax') + x'(ax-1)= b(xy'-x'y).$$

Dernière modification par Michel Coste (22-07-2025 15:56:24)

JF

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Re : Cas d'unicité d'un coefficient de Bezout

Super ! Je vous remercie beaucoup ! :)
J'étais bloqué là-dessus depuis quelques jours et je ne voyais pas du tout pourquoi si x<b alors x était unique.
Je n'avais pas pensé au lemme de Gauss. Merci de me l'avoir soufflé !
Excellente continuation à vous et peut-être à une autre fois.