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CanardSauvage

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différentielle d'un déterminant

Bonjour à tou(te)(s) !
Dans "Théorie des Champs" de Landau et Lifschitz, et aussi ailleurs, je lis :
"Les mineurs du déterminant [tex]g=det(g_{ij}) [/tex] sont les [tex]g g^{ij}[/tex].
Je rappelle les notations :
(([tex]g^{ij})=(g_{ij})^{-1}[/tex], autrement dit, 
[tex]\sum_{j}g^{i j}g_{jk}=\delta^{i}_{k}[/tex])
ici l'on travaille dans un espace de dimension 4.
Par conséquent, la différentielle de [tex]g[/tex] est [tex]dg=g g^{ik} dg_{ik}[/tex].
D'abord, il me semble qu'il y a une confusion entre "mineurs" et "cofacteurs"
Si j'appelle "cofacteurs" de la matrice [tex]g_{ij}[/tex] les [tex]c_{ij}[/tex] vérifiant
[tex]det(g_{ij})=\sum_{i=1}^{n}g_{ij}c_{ij}=\sum_{j=1}^{n}g_{ij}c_{ij}[/tex]
alors les mineurs [tex]m_{ij}[/tex] vérifient
[tex]m_{ij}=(-1)^{i+j}c_{ij}[/tex]
LL auraient-ils dû parler de cofacteurs et non de mineurs ?
Et même en admettant qu'ils s'agit de cofacteurs, je ne vois pas pourquoi
[tex]d g=g g^{ij} d g_{ij}[/tex].
En différentiant
[tex]g=\sum_{i=1}^{n}g g^{ij} g_{ij}[/tex], je n'arrive pas à trouver cette égalité.
Merci de me rafraîchir la mémoire que j'ai sans doute perdue !
CS

Michel Coste

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Re : différentielle d'un déterminant

Bonjour,
Pour toute matrice carrée $A$ de taille $n$, en notant $\mathrm{Cof}(A)$ la matrice des cofacteurs, on a $\mathrm{Cof}(A)^{\mathsf T}\,A=\det(A) \,I_n$.

CanardSauvage

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Re : différentielle d'un déterminant

Cher Michel,
Si [tex]Cof(A)=(c_{ij})[/tex] et [tex]A=(a_{ij})[/tex], cela veut dire que
[tex]\sum_{j=1}^{n}c_{ji}a_{jk}=det(A)\delta_{ik}[/tex].
Nous sommes d'accord.
J'oubliais de dire que le Landau et Lifschitz emploie la notation d'Einstein et ne mentionnait pas les sommations sur les indices répétés.
Si je passe sur la distinction entre mineurs et cofacteurs, il n'en reste pas moins que je ne comprends pas le pourquoi de
[tex]dg=g g^{ij} dg_{ij}[/tex] (où [tex]g=det(g_{ij}),(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}[/tex])
Cela a l'air élémentaire, et ce doit l'être,  mais je ne vois pas.
Le pire, c'est que je savais déjà cela avant 1975 !
Je dois dire que j'ai de gros problèmes de mémoire, et de plus en plus. J'ai atteint un âge [tex]\frac{3}{4}<a<\frac{4}{5}[/tex] de siècle... et je n'ai pas envie de cesser de faire des mathématiques, et surtout de revoir ce que j'ai oublié ! "Déclin cognitif", Perte de mémoire, TDAH, tout à la fois, hélas...
Merci de vos lumières (à tou(te)(s)) !
C.S.
(Naufragé du temps!)

Dernière modification par CanardSauvage (28-05-2025 12:51:47)