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Junior ste

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Matrice d'une rotation

Salut,
Svp je sollicite vos différents apports à la question 2 de l'exercice. En effet, j'ai essayé d'utiliser la méthode de CARDAN à ce niveau mais sans succès pour déterminer la nature de la rotation, puisque je cherchais à trouver les racines de l'équation cubique en question. À l'intérieur du document ci-joint via le lien ci-dessous vous trouverez ce j'ai eu à faire et à la dernière page l'énoncé de l'exercice en question.
Merci d'avance.
https://www.cjoint.com/c/OCwrkFrM0bY

Dernière modification par Junior ste (22-03-2025 18:30:16)

LCTD

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Re : Matrice d'une rotation

Bonjour,

SVP donnez l'énoncé de la dernière Question dont il est question.
Sinon si la matrice est bien celle que vous avez écrit; votre calcul du déterminant me semble faux. Je trouve $a^3 +b^3+c^3 -3abc$

Junior ste

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Re : Matrice d'une rotation

Bonjour,

SVP donnez l'énoncé de la dernière Question dont il est question.
Sinon si la matrice est bien celle que vous avez écrit; votre calcul du déterminant me semble faux. Je trouve $a^3 +b^3+c^3 -3abc$

Faudra regarder les équations de viète, là tu comprendras. Sinon y a aucune erreur dessus.

Dernière modification par Junior ste (24-03-2025 16:15:25)

Rescassol

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Re : Matrice d'une rotation

Bonjour,

Vous avez tous les deux raison, grâce à l'identité remarquable bien connue:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Ensuite, comme il faut que $\Omega ^t\Omega=Id$, on obtient $ab+bc+ca=0$ et $a^2+b^2+c^2=1$ donc $a+b+c=\pm 1$.
Ensuite $det(\Omega)=a+b+c=1$ car $det(\Omega)>0$.
Enfin $a,b,c$ sont solutions de l'équation $t^3-s_1t^2+s_2t-s_3=0$ avec $s_1=a+b+c=1,s_2=ab+bc+ca=0,s_3=abc$ donc $P(t)=t^3-t^2+k=0$ (où $s_3=-k$).

Si on élimine $t$ entre $P(t)$ et $P'(t)$ on trouve son discriminant $\Delta=k(27k - 4)$.
Poser $k=\dfrac{4}{27}\sin^2\phi$ revient donc à considérer le cas où $\Delta<0$, donc où l'équation $P(t)=0$ possède $3$ solutions réelles.
Je te laisse réfléchir à la suite.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (24-03-2025 17:22:37)