Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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la "guéguerre" algèbre-topologie

Bonjour,

Certaines questions sont pénibles à résoudre lorsque l'on se cantonne dans un domaine cloisonné des maths.
Suivant l'adage, qui peut le plus peut le moins, donc...

Déterminer l'ensemble des isométries pour la distance usuelle  de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , à savoir les fonctions f telles que $\lvert f(x) - f(y)\rvert = \lvert x-y \rvert$
On pourra procéder par analyse-synthèse.

A.

Dernière modification par bridgslam (13-01-2025 11:39:20)

Bernard-maths

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Re : la "guéguerre" algèbre-topologie

Bonjour !

Si j'écris |f(x1) - f(x2)| = |x1 - x2|, je vois les fonctions affines, pour a = ±1 : si f(x) = ax + b, alors f(x1) - f(x2) = ± (x1 - x2) ...

Mais aucune idée pour "la suite" ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2025 14:21:16)

bridgslam

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Re : la "guéguerre" algèbre-topologie

Bonjour Bernard,

C'est la recherche des f solutions qui importe.
N'y en a-t-il pas d'autres ?

Bonne soirée

Alain

bridgslam

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Re : la "guéguerre" algèbre-topologie

Bonsoir ,

▼par l'algèbre

On écrit la relation pour les couples de réels (x,1), (1,0) et (x,0).
Après des calculs assez pénibles ( en élevant au carré), on trouve que f est nécessairement une fonction affine.
En reportant dans la relation on trouve les coefficients a , qui sont nécessairement 1 ou -1.
On vérifie alors que les fonctions trouvées x -> x+b et x-> -x + b vérifient la relation demandée.

▼l'analyse à la rescousse

f doit visiblement être continue et injective sur l'intervalle $\mathbb{R}$ donc y  est str. monotone.
On écrit les relations selon que f est croissante ou décroissante.
On retrouve les résultats du 1 immédiatement.

A.

Bernard-maths

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Re : la "guéguerre" algèbre-topologie

J'avais deviné, en cogitant un peu, mais pas démontré !

C'est un peu comme une solution évidente ...

B-m

bridgslam

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Re : la "guéguerre" algèbre-topologie

Bonjour,

La difficulté n'était pas vraiment d'exhiber des fonctions solutions, mais bel et bien, et surtout , d'éliminer toutes les autres.
Cet exemple servait essentiellement à montrer qu'un exercice pénible du point de vue strictement calculatoire peut être simplissime,  analyse/topologie à l'appui.
Ici ce qui est utilisé masque un bon arsenal derrière :
Intervalle, continuité, ... dont les conséquences sont décisives dans cet exo.
Merci pour ta participation.

Bonne journée
A.