Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Le chouchou

Bonjour,

  Dans la classe de Véro, il n'y a que trois élèves, Aïcha, Boris et Clément. Véro a effectué 3 DS et a obtenu les notes suivantes :

    Aïcha : 11, 6, 11
    Boris : 4, 14, 13
    Clément : 19, 13, 8.

Véro a un petit faible pour Aïcha. Elle souhaite affecter chaque note d'un coefficient (entier) de sorte que ce soit Aïcha qui ait la meilleure moyenne (strictement). Comment peut-elle faire ?

F.

Ernst

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Re : Le chouchou

Bonjour,

J'ai testé plusieurs configurations, la plus simple semble être

▼une possibilité

les coefficients 9, 1 et 27

Fred

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Re : Le chouchou

▼@Ernst

C'est aussi ma solution. Y es-tu arrivé analytiquement, par un algorithme, par essais successifs ?

Ernst

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Re : Le chouchou

▼@Fred

Bonjour,

En fait je connaissais Véro et je lui ai simplement demandé les coefficients. Quand elle m'a exliqué le comportement déplorable de Boris et de Clément envers la fragile Aïcha, je lui ai bien sûr donné raison.

Bon, plus sérieusement, par tâtonnement. Ici j'ai fait varier les coefficients et j'ai demandé un affichage quand la moyenne pondérée de Aïcha était strictement supérieure aux deux autres, et j'ai gardé la première sortie.

for a in range(1,40):
  for b in range(1,40):
    for c in range(1,40):
      tot=a+b+c  
      ma=(11*a+6*b+11*c)/tot  
      mb=(4*a+14*b+13*c)/tot  
      mc=(19*a+13*b+8*c)/tot  
      if ma>mb and ma>mc:
        print(f"{a} {b} {c}->{ma:.3f} {mb:.3f} {mc:.3f}")

  9 1 27 -> 10.865 10.838 10.811
10 1 30 -> 10.878 10.829 10.805
11 1 32 -> 10.886 10.773 10.864
11 1 33 -> 10.889 10.822 10.800
11 1 34 -> 10.891 10.870 10.739
12 1 35 -> 10.896 10.771 10.854
12 1 36 -> 10.898 10.816 10.796
12 1 37 -> 10.900 10.860 10.740
13 1 38 -> 10.904 10.769 10.846
13 1 39 -> 10.906 10.811 10.792

Zebulor

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Re : Le chouchou

Bonjour,
j'ai loupé la tournée du bar, alors je me rattrape :

▼@Fred

Marc est le chouchou, ce qui se traduit par :
$\begin{cases}
        11x+6y+11z \gt 19x+13y+8z \\
        11x+6y+11z \gt 4x+14y+13z
     \end{cases}$
où x,y et z sont les coefficients strictements positifs de chaque matière

En simplifiant :

$\begin{cases}
L_1    :   -8x-7y+3z \gt 0 \\
L_2    :   7x-8y-2z \gt 0
     \end{cases}$

L'idée est d'obtenir une inégalité entre $x$ et $y$ en éliminant $z$ ce qui peut se faire en comparant $2L_1$ à $-3 L_2$, d'où après simplifications :
$ 0 \lt y \lt \dfrac {5x}{38}$ moyennant les contraintes sur $z$ : $\dfrac {1}{3} (8x+7y)  \lt z \lt \dfrac {1}{2}(7x-8y)$

La première valeur possible pour $x$ est 8, pour laquelle la plus petite valeur minorant $z$ est obtenue pour $y=1$.
Mais alors $z$ ne peut être entier. On élimine donc $x=8$.

Pour $x=9$ avec le même raisonnement on obtient $z$ strictement comprise entre 26.33333 et 27.5, soit 27 exactement.

d'où le triplet (9,1,27)

Dernière modification par Zebulor (28-12-2024 07:25:21)

Fred

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Re : Le chouchou

▼@Zebulor

Exactement comme j'ai procédé !

Zebulor

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Re : Le chouchou

Re,
@Fred : Merci pour l'énigme :-)

Dernière modification par Zebulor (28-12-2024 13:46:38)