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Tamim

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Valeur propre vecteur propre

Bonjour!
Je voudrais savoir pourquoi on définit le vecteur propre avant la valeur propre dans les cours d’algèbre linéaire. Car :
$\exists u \in E, \ u \neq 0 \implies \exists \lambda \in \mathbb{R}, \ f(u) = \lambda u$ est pour moi pareil que

$\exists \lambda \in \mathbb{R}, \ \exists u \in E, \ u \neq 0 \implies f(u) = \lambda u.$

Merci à vous

bridgslam

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Re : Valeur propre vecteur propre

Bonjour,

Si on prend la seconde implication (supposée vraie) dans le cas d'un espace vectoriel non nul, comme la prémisse est une tautologie, ça voudrait dire que tout u non nul est un vecteur propre, donc que f est une homothétie.
Quelque chose cloche, ce ne sont pas à mon avis les bonnes définitions.
Et quid du vecteur nul ?

A.

Dernière modification par bridgslam (19-12-2024 11:37:56)

Tamim

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Re : Valeur propre vecteur propre

merci pour ta réponse.
Pour lever l’ambiguïté :
1) $\exists u \in E, u\neq 0 , \exists \lambda \in \mathbb{K}, f(u)=\lambda\cdot u$

2) $\exists \lambda \in \mathbb{K}, \exists u \in E, u\neq 0, f(u)=\lambda\cdot u$

C’est pareil non?

bridgslam

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Re : Valeur propre vecteur propre

Bonjour,

Ce sont les énoncés équivalents d'existence d'un vecteur propre non nul, ce ne sont pas des définitions d'être vecteur propre à proprement parler.
Pour moi il est plus propre de dire quand un vecteur u est un vecteur propre, et d'affirmer ensuite qu'il en existe un non nul
(si c'est le cas).
Il faut éviter le mélange des genres.
Sinon en terme de logique vous pouvez toujours intervertir x et y dans les assertions comme $\exists x, \exists y, p(x,y)$.
Sauf erreur c'est ce que tu fais là.

A.

Zebulor

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Re : Valeur propre vecteur propre

Bonjour,

$\exists u \in E, \ u \neq 0 \implies \exists \lambda \in \mathbb{R}, \ f(u) = \lambda u$ est pour moi pareil que

$\exists \lambda \in \mathbb{R}, \ \exists u \in E, \ u \neq 0 \implies f(u) = \lambda u.$

Je n'y vois pas la même signification...

Tamim

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Re : Valeur propre vecteur propre

merci pour vos réponses.

Zeus20

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Re : Valeur propre vecteur propre

bonjour!
@Tamim

selon moi  les deux formulations mentionnées sont équivalentes
Cependant, la première formulation met l'accent sur le vecteur propre avant la valeur propre