Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

un trou dans la raquette

Bonjour,

Peut-on voir un exemple d'anneau (unitaire) non commutatif, dont le groupe des unités soit abélien ?
J'avoue être en mal d'inspiration.

Alain

Glozi

Invité

Re : un trou dans la raquette

Bonjour,
Je pense à l'exemple suivant, on prend $K$ un corps (commutatif), on prend comme anneau $A=K\langle X,Y\rangle$ l'ensemble des polynômes a deux variables $X$ et $Y$ choisies non commutatives (ie $XY\neq YX$) et à coeff dans le corps $K$ (ex : $\frac{1}{2}XYX^2Y-\frac{3}{7}Y^4X$ serait un élément de l'anneau en question pour $K=\mathbb{Q}$). Alors le groupe des unités de $A$ est isomorphe à $(K^*,\times)$ qui est abélien.
Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonjour,

Merci, je ne connaissais pas ce genre d'anneau !

Bonne fin de journée
A.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 453

Re : un trou dans la raquette

Bonjour,
C'est un procédé classique de construction d'algèbres : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8 … no%C3%AFde

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonsoir,

OK, merci Michel Coste aussi, on en apprend tous les jours.
En fait, plus précisément je voulais contrer une affirmation qui me semblait ( confusément) fausse dans un livre de Josette Calais
( éléments de théorie des anneaux- anneaux commutatifs, niveau L3 ), le "si et seulement si" entre commutativité des inversibles et celle de l'anneau me gênant beaucoup.
Mon impression est donc confirmée grâce à vous.

Bonne fin de soirée
Alain

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 453

Re : un trou dans la raquette

Peux-tu donner précisément l'énoncé du livre de Josette Calais ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonjour Mr Coste,

Oui  quelques instants svp. Merci.

Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Il s'agit du livre:

Elements de théorie des anneaux- Anneaux commutatifs
Josette Calais.
Editions Ellipses
Collection Mathématiques à l'Université, dirigée par Marle Pilbossian.
Cette équivalence fausse est mentionnée en remarque dans les notions de base au chapitre 1, après l'évocation du groupe des unités.

Je crois me souvenir que quelques erreurs (rares) sont aussi présentes dans le livre de la même auteure sur les groupes.

Celui sur les anneaux est néanmoins excellent, et très clair, avec une rubrique super notamment sur la localisation, que je trouve admirable, même si l'exclusion de 0 qu'elle pose pour la définition des parties multiplicatives n'est pas unanime dans toute la littérature ( prise en compte de l'anneau nul), ni dans les videos très bien faites de J. Huisman sur le sujet.

Bonne journée
A.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 453

Re : un trou dans la raquette

Re :
Peux-tu donner précisément l'énoncé du livre de Josette Calais ?
Tu ne l'as pas donné.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonsoir,

Excuses  j' ai confondu avec le titre... de l'ouvrage.

Remarque 1.10 page 4.

Le groupe $U_A$ est abélien si et seulement si l'anneau A est commutatif.
Je n'ai pas trouvé de numéro d'édition , mais il a été imprimé en 2006.
Peut-être des  rééditions plus récentes ont-elles corrigé ce "bug".

A.

Dernière modification par bridgslam (23-11-2024 09:43:00)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 453

Re : un trou dans la raquette

Merci.
Cet énoncé est effectivement incorrect, sauf si des choses ont été dites pour préciser la nature de l'anneau $A$ avant la remarque.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonsoir,

Aucunement, c'est dans un contexte absolument général d'anneau (unitaire, je précise car dans ce cours, ce n'est pas automatique, comme actuellement), juste après la défintion du groupe multiplicatif des inversibles, parmi une liste de remarques indépendantes les unes des autres.

Merci
Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : un trou dans la raquette

Bonjour,

Dans "Eléments de théorie des groupes" , de Josette Calais,  une autre erreur s'est glissée, cette fois sous la forme d'un exercice:

https://www.cjoint.com/c/NKyjqlabvC1

Il s'agit de la dernière question du premier de ces trois exercices de fin de chapitre.

Plus pénible car un néophyte peut passer un temps (forcément) infini à tenter de prouver un résultat faux.

▼contre-exemple

<(1,1)> est un sous-groupe de $ \mathbb{Z}^2$ , mais s'il était un produit cartésien il contiendrait (0,1) ce qui n'est pas

Ça marche par-contre pour les idéaux d'un anneau-produit.

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-11-2024 12:04:57)