Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alexian

Membre

Inscription : 30-09-2023

Messages : 5

Somme de coefficients binomiaux

Hello, j'ai un peu de mal à trouver comment démontrer cette égalité, est-ce qu'il serait possible d'avoir un peu d'aide svp ?

Soit [tex]p \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_0^p\binom{p}{2k} - \sum_0^p\binom{p}{2k+1} = \sum_0^p\binom{k}{p} (-1)^k[/tex]

(Ou directement égal à 0)

Merci d'avance,
Alexian

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 508

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Il y a plusieurs pbs d'indices dans vos sommes, et dans vos coefficients.
Vous pouvez vous en sortir avec la formule du binôme, ou par dénombrement.

Si p est non nul , considérer un élément fixé e.
Envoyer les parties paires $P $contenant e vers $P\backslash\{e\} $ et les parties paires$ P' $sans e vers $P' \cup \{e\}$.
Que peut-on en tirer?
A

Dernière modification par bridgslam (23-10-2024 18:33:44)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

alexian

Membre

Inscription : 30-09-2023

Messages : 5

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Il y a plusieurs pbs d'indices dans vos sommes, et dans vos coefficients.
Vous pouvez vous en sortir avec la formule du binôme, ou par dénombrement.

A

Bonsoir, non ce n'est pas un soucis si 2k dépasse p car les coefficient vaudront 0 et ne changeront rien à la somme.
Pour la résolution je ne comprends pas vraiment comment vous souhaitez procéder.

Bien à vous,
AV

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 508

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonsoir ,

Ça depend des conventions adoptées.
Vous inversez les indices dans les deux membres si vous vous relisez.
Je vous ai presque tout dit pour la méthode ensembliste.
Par le binôme, il suffit d'écrire l'égalité de votre cours avec des x et y idoines

A

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 163

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour,

pour commencer :
Soit [tex]p \in \mathbb{N}[/tex]
$\sum\limits_{k=0}^p \binom{k}{p} (-1)^k$ est facile à calculer avec la formule du binôme...

---

En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 508

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour ,

Pareil que lui, sauf erreur le p et le k sont a intervertir.
C'est l'inverse du bon vieux temps où on écrivait avec des C.
Ici ils seront tous nuls sauf le dernier égal à 1...

A

Dernière modification par bridgslam (24-10-2024 14:18:05)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 163

Re : Somme de coefficients binomiaux

re,
tu as raison Bridgslam c'est ce que je vérifiais à l'instant..

---

En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.