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walterwhitecoocking

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Théorie des groupes et classification

Bonjour,

Concernant la classification des groupes d'ordre 8, j'ai réussi à montrer que pour G un groupe d'ordre 8 dont l'ordre maximal d'un élément de G est 2, G est Abélien. Naturellement un tel groupe nous fait penser à (Z/2Z)**3 mais comment montrer que tout groupe ayant la propriété que l'ordre maximale d'un élément de ce groupe est 2 est isomorphe à (Z/2Z)**3 ? Comment est-t-on sur qu'il n'existe pas un groupe ayant la propriété que l'ordre maximale d'un élément du groupe est 2 qui ne soit pas isomorphe à (Z/2Z)**3 ? J'ai pensé à faire une table de Caley qui, à une permutation des éléments près, serait la même que (Z/2Z)**3 mais n'y a-t-il rien d'autre ?

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Théorie des groupes et classification

Bonjour,

C'est un exercice classique de prépa. Ton groupe possède une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Comme il est fini, il est de dimension finie. Ton groupe est donc isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$, et cet entier $n$ est nécessairement $3$ ici.

E.