Famille de demi-groupes de $\mathbb{N}$

Reouven · 12-10-2024 06:52:40

Bonjour,

Je m'intéresse aux demi-groupes co-infinis de $\mathbb{N}$ pour l'addition.

On a le résultat suivant :

Soit $k \in \mathbb{N^*}$ et $r$ un diviseur de $k$.
Alors : $M_{k,\ r}=\{k,\ k+r,\ k+2r,\ k+3r,\cdots\}$ est une famille de « sous-magmas » de $\mathbb{N}$.

Auriez-vous des idées éventuelles d'autres formules donnant, comme cela, une forme générale, hors par formule de récurrence, à une famille de demi-groupes co-infinis de $\mathbb{N}$ ?

Merci,

Dernière modification par Reouven (16-10-2024 21:35:13)

DeGeer · 12-10-2024 10:12:57

Bonjour
Je ne comprends pas la notation $(\mathbb{Z}/n\ \mathbb{Z} \cap \mathbb{N}) \setminus [0;\ n], n\gt 1 $.

Reouven · 12-10-2024 10:25:50

Edit : reformulation du premier message modifiée (en plus compréhensible et sans la formule relevée par @DeGeer, inutilement compliquée).

Dernière modification par Reouven (13-10-2024 20:22:02)

Roro · 13-10-2024 08:17:32

Bonjour,

Reouven a écrit :

Vous avez sûrement raison mais je n'ai rien compris à vos réponses, mais vraiment rien, pas un seul point dont je vois le rapport avec la discussion.

Tu as sans doute compris que ce que tu avais initialement écrit n'avait aucun sens mathématique et que dans ce cas, il est impossible de répondre !

Par exemple, lorsqu'on utilises l'intersection entre deux ensembles $A\cap B$, c'est mieux si $A$ et $B$ font partie d'un même ensemble.
Tu peux faire l'intersection entre l'ensemble $A$ des moutons et l'ensemble $B$ des animaux à poils blancs car ce sont deux ensemble d'un même "gros" ensemble des animaux. Par contre, si tu intersectes l'ensemble $A$ des moutons avec l'ensemble $C$ des plantes vertes, tu trouveras l'ensemble vide, pas très intéressant.

De même lorsqu'on écrit $A\setminus B$, c'est mieux si $B$ est inclu dans $A$ (ou au moins si $A$ et $B$ font partie d'un même ensemble).

Si tu reprends mon exemple précédent, faire $A\setminus B$ est pertinent et on obtient l'ensemble des moutons qui ne sont pas blancs. Par contre $A\setminus C$ correspond à l'ensemble des moutons qui ne sont pas des plantes vertes... pourquoi pas mais ça n'apporte pas beaucoup.

Il faut que tu précises ce que tu demandes.

Roro.

P.S. Les messages initiaux ayant été modifiés, mon message n'a plus beaucoup de sens dans le fil de cette discussion (quel intérêt de modifier complètement le premier message d'une "discussion" ?). Ceci étant dit, ce que je raconte n'est pas faux !

Dernière modification par Roro (15-10-2024 08:36:47)

Rescassol · 13-10-2024 17:45:54

Bonjour,

Comme déjà dit, la question posée est totalement incompréhensible.

Cordialement,
Rescassol

Reouven · 16-10-2024 20:35:25

@roro j'ai uniquement reformulé la question pour utiliser des termes mathématiques propres au contexte de ma question et que je ne connaissais pas.

L'exemple mathématique $M_{k,\ n}$ et le fond du sujet n'ayant, par ailleurs, pas changé.

L'intérêt étant de mieux me faire comprendre, évidemment. Et oui, tes remarques étaient justes.

Réponse :
Soit $S$ un demi-groupe généré par deux éléments $k$ et $k'$.

Alors si $k$ et $k'$ sont premiers entre eux, $S$ est un demi-groupe co-fini.
Sinon, $S$ est un demi-groupe co-infini.
Ce sont les demi-groupes que je cherchais. Et donc celui donné dans le premier message est une illustration du résultat.

Cette condition peut être généralisée à n'importe quel nombre d'éléments générant le demi-groupe.

On peut trouver le théorème équivalent à cela, sur le wiki anglais à l'entrée pour les « demi-groupes numériques ».

Dernière modification par Reouven (16-10-2024 22:08:31)

Reouven · 17-10-2024 19:03:54

Bonjour,
auriez-vous une preuve de ce théorème ?

Pour rappel il dit (traduit de l'anglais) :

« Soit $S$ un sous demi-groupe de $\mathbb{N}$ généré par $A$.
Alors si $S$ est un demi-groupe numérique si et seulement si $\gcd(A) = 1$.
De plus, tout demi-groupe numérique a cette forme. »

Il y a une référence dans le wiki mais je ne comprends pas comment y accéder.

Dernière modification par Reouven (17-10-2024 19:05:42)

bridgslam · 18-10-2024 10:18:51

Bonjour,

Juste pour ne pas vous laisser sur la paille:
Le sens ... => d=1 est facile en raisonnant par l'absurde, avec un peu d'arithmétique.
Intéressant à chercher.
L'autre sens est plus difficile, il s'appuie sur un théorème de Schur, démontrable à partie d'une série génératrice:
on évalue avec cette série l'expression asymptotique à l'infini calculant le nombre d'expressions en combinaisons linéaires dans N en fonction de A, de n.
Cette expression montre qu'à partir d'un rang n assez grand,
sa valeur est non nulle.
Tous les entiers naturels sont donc dans <A> au bout d'un moment.
Ce sens de l'implication demande des maths plutôt évoluées.
Mots-clés: série génératrice, fonction asymptotique...

Bonne journée

A.

Reouven · 18-10-2024 10:40:50

bridgslam a écrit :

Bonjour,
Juste pour ne pas vous laisser sur la paille:

Je souligne que par considération envers d'autres personnes éventuelles du forum, pouvant être intéressées par la discussion (invitées par ailleurs à venir échanger), sur un mode non égotique, je ne rebondirai plus, même au contenu mathématique de vos messages, même pour vous en remercier.

De sorte qu'à l'avenir si vous intervenez dans cette discussion, il y ait un peu plus de chance que ce soit par plaisir de faire des mathématiques, et non du folklore.

Dernière modification par Reouven (18-10-2024 11:11:52)

bridgslam · 18-10-2024 11:23:58

Bonjour,

A vrai dire cela enfonce le clou de l'état d'esprit général avec lequel je vous avais perçu.
Vraiment aucun regret pour moi, je dirais même plutôt une bénédiction devant l'Eternel, de ne plus vous avoir comme interlocuteur.
Merci!

A

Reouven · 18-10-2024 11:46:59

Je vous confirme.
Etat d'esprit personnel et très subjectif, le folklore dont je parle depuis votre première intervention pour rester poli, et que vous aviez supprimé, il y a quelques jours déjà, d'ailleurs avec tous vos autres messages.
Bonne continuation à vous.

Dernière modification par Reouven (18-10-2024 17:11:48)

bridgslam · 18-10-2024 12:48:57

Eh oui , au fil des multiples mutations de votre question initiale,
transformations effectuées d'ailleurs sans en préciser évidemment la cause, mes messages successifs pour le rectifier en un minimum de sens, n'avaient dès lors plus aucun sens.[
Merci à Yoshi qui a aussi nettoyé les citations dans vos messages en rapport.

Normal donc que vous soyez un adepte du mot "folklore",
le vôtre n'ayant d'égal que votre niveau particulièrement catastrophique.

Bref, "touche le fond et creuse encore" pourrait être vos fières
armoiries, sur champ de zéros.

Bonne héraldique
A.

Reouven · 18-10-2024 13:04:46

La cause a été donnée, sans même avoir eu besoin de vos remarques, ce qui est un euphémisme.

Je pense que vous êtes capable de mieux que cette noirceur folklorique. Vous n'avez même pas la politesse d'un fil qui n'est pas le vôtre et dans lequel vous vous êtes il me semble suffisamment exprimé, à tous points de vue mathématique ou non.

Quand j'ai dit bonne continuation, ce n'était pas dans ce sens.

Dernière modification par Reouven (18-10-2024 13:12:50)

bridgslam · 19-10-2024 13:07:06

Reouven a écrit :

La cause a été donnée, sans même avoir eu besoin de vos remarques, ce qui est un euphémisme.

Bonjour,

Bien-sûr il est facile de raconter des bobards lorsque les messages prouvant le contraire ne sont plus là.
Pour vous rafraîchir la mémoire, vous avez quand-même présenté ( après une dizaine d'échanges qui vous montraient la contradiction !!) une famille de suites arithm. dont les premiers termes ne sont pas premiers entre eux comme des magmas, alors que la plupart d'entre sont des anti-magmas
, et exemples à l'appui.
Contrairement à vous, le respect des lecteurs ne situe visiblement pas sur le même plan entre nous.
...

A.

Reouven · 19-10-2024 15:15:55

Je répète qu'ayant maîtrisé le vocabulaire mathématique propre au sujet de ma question, en même temps que je me la suis posé, notamment grâce à des interventions extérieures à ce forum, je ne suis pas surpris que vous trouviez globalement, que j'ai pu m'exprimer, pour vous, de manière assez ambivalente.

Pour le forum globalement, je suggère que l'on laisse le sujet éventuellement évolué mais dans un aspect mathématique, plutôt.

Merci de votre compréhension.

Dernière modification par Reouven (19-10-2024 16:37:45)

bridgslam · 19-10-2024 18:17:28

Bonsoir,

OK pas de souci,

Bonne soirée
A.

PS: un vieux magazine de la revue "Tangente" évoque bien cette affaire.

Dernière modification par bridgslam (19-10-2024 18:17:59)

Reouven · 20-10-2024 23:04:57

Je pose ça là : GAP-system (Group Algorithms Programming).

C'est un outil complet pour l'algèbre discrète.

Le projet est toujours actif, bien qu'il ait débuté vers le milieu des années 80.

On peut l'utiliser directement ou écrire son propre code grâce à un langage fonctionnel puissant.

Ou encore, profiter des packages développés par d'autres personnes.

C'est gratuit, bien documenté et vraiment riche.

Dernière modification par Reouven (20-10-2024 23:09:56)

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