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bibmgb

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Théorème de d'Alembert Gauss

Bonjour,

J'ai consulté la page suivante démonstration qui propose une démonstration du théorème de d'Alembert Gauss. Et je ne comprends pas la fin de la démonstration.
Il est dit que : Si [tex]m[/tex] est non nul, La fonction [tex]t\longmapsto m(1-\vert b_k\vert^2t^k)+Ct^{k+1}[/tex]  prend des valeurs strictement négatives au voisinage de  [tex]0^+[/tex], donc il existe des complexes [tex]ct[/tex] tels que  [tex]\vert Q(ct)\vert<m[/tex].

Or dans cette preuve on prend [tex]t[/tex] tel que [tex]0<t<1\text{ et }\vert b_k\vert^2t^k<1[/tex].
Donc il me semble que [tex]0<1-\vert b_k\vert^2t^k<1[/tex] donc [tex]m(1-\vert b_k\vert^2t^k)+Ct^{k+1}>0[/tex] (C est une somme de module donc positif).

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci.

Fred

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Re : Théorème de d'Alembert Gauss

Bonjour,

  Je pense qu'il faut plutôt lire : la fonction $t\mapsto m(1-|b_k|^2t^k)+Ct^{k+1}$ prend des valeurs strictement inférieures à $m$ au voisinage de $0^+$.

F.

bibmgb

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Re : Théorème de d'Alembert Gauss

Bonjour,

Si mes calculs sont bons, dire que cette fonction prend des valeurs strictement inférieures à [tex]m[/tex] au voisinage de [tex]0^+[/tex] c'est dire que [tex]Ct^{k-1}<m|b_k|^2[/tex] pour [tex]t[/tex] au voisinage de [tex]0^+[/tex]. Comme [tex]m|b_k|^2>0[/tex] et que [tex]k\geq 2[/tex], ça fonctionne.

Par contre, ce choix de fonction m'apparaît totalement obscure et je trouve la fin de la preuve très indigeste. Il est clair que je n'ai pas tout compris de cette preuve.