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MarielleC

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Somme et Produit : problème d'indices

Bonjour à tous,

Je suis un peu bloquée pour comprendre une démonstration. J'ai cherché partout en quête d'une astuce sur les indices dans les sommes et les produits mais je ne vois rien qui pourrait m'aider à comprendre.

[tex]
S_{n}=ln((n+1)^{n+1})-\sum\limits_{k=2}^\color{Red}{n+1} ln(k)
[/tex]
[tex]
S_{n}=ln((n+1)^{n+1})-ln(\prod\limits_{k=2}^\color{Red}{n} k)
[/tex]

Pourquoi passe-t-on d'une somme jusqu'à $n+1$ à un produit jusqu'à $n$ ? Car le passage de la somme au produit que je connais me dit :
[tex]
ln(\prod\limits_{k=1}^\color{Red}{n}x_{k})=\sum\limits_{k=1}^\color{Red}{n} ln(x_{k})
[/tex]

Merci !

Fred

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Re : Somme et Produit : problème d'indices

Bonjour,

  On ne peut pas remplacer la somme jusque $n+1$ par le produit jusqu'à $n$ ...
Il doit y avoir une erreur dans le document que tu lis.

F.

MarielleC

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Re : Somme et Produit : problème d'indices

D'accord merci, je vais donc recopier tout l'énoncé et la solution proposée pour savoir si j'ai loupé quelque chose avant ou s'il s'agit bien d'une erreur.

Montrer que $P_{n}=\prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})^k = \frac{(n+1)^n}{n!}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

Solution :
Il revient au même de calculer $S_n = ln(P_n )$

On a :
$ S_n = ln(\prod\limits_{k=1}^n (\frac{k+1}{k})^k )$

$= \sum\limits_{k=1}^n (k\, ln(k+1)- k\,ln(k))$

$= \sum\limits_{k=1}^n k\, ln(k+1)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

et le changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme donne :

$ S_n = \sum\limits_{j=2}^{n+1} (j-1)\,ln(j)- \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{j=2}^{n+1} j\,ln(j)- \sum\limits_{j=2}^{n+1} ln(j) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$=  \sum\limits_{k=2}^{n+1} k\,ln(k)- \sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k) - \sum\limits_{k=1}^n k\,ln(k)$

$= (n+1)\,ln(n+1)-\sum\limits_{k=2}^{n+1} ln(k)$

(on a utilisé le fait que l'indice est muet dans une somme). On a donc en définitive :

$S_n = ln(P_n )=ln((n+1)^{n+1} )- \sum\limits_{k=2}^\color{Red}{n+1} ln(k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(\prod\limits_{k=2}^\color{Red}{n} k)$

$=ln((n+1)^{n+1} )- ln(n!)$

$=ln (\frac{(n+1)^\color{Red}{n+1}}{n!})$

et $ P_n = \frac{(n+1)^\color{Red}{n}}{n!}$

J'ai mis en rouge les problèmes d'indices.

Merci pour votre aide !

Fred

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Re : Somme et Produit : problème d'indices

Re-

  Il y a deux erreurs qui se compensent. Si tu regardes la fin du raisonnement, tu as
\begin{align*}
S_n&=\ln((n+1)^{n+1})-\sum_{k=2}^{n+1}\ln(k)\\
&=\ln((n+1)^{n+1})-\ln(\prod_{k=2}^{n+1}k)\\
&=\ln((n+1)^{n+1})-\ln((n+1)!)\\
&=\ln\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\right)\\
&=\ln\left(\frac{(n+1)^n}{n!}\right).
\end{align*}

F.

MarielleC

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Re : Somme et Produit : problème d'indices

Merci beaucoup ! J'ai signalé la coquille à l'éditeur.

Dernière modification par MarielleC (10-09-2024 09:56:52)