Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibmgb

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Limite inférieure d'une suite

Bonjour,
Étant donnée une suite [tex](a_n)[/tex], la limite inférieure de la suite [tex](a_n)[/tex] est définie par [tex]\lim\inf a_n=\sup_{n\geq 0}\inf\{a_k,k\geq n\}[/tex].
D'après la propriété de la borne supérieure on peut dire que
[tex]\forall \epsilon >0, \,\exists N\in\mathbb{N},\, \forall n\geq N, u_n\geq \lim\inf a_n -\epsilon [/tex].

Ma question : peut-on dire qu'il existe un rang à partir duquel [tex]u_n\geq \lim\inf a_n[/tex] ?

Je pense qu'il peut y avoir des suites pour lesquelles quelque soit N, il existe un n tel que  [tex]u_n<\lim\inf a_n[/tex].
Mais je pose la question car je ne suis pas sûre de moi.
Merci.

Bernard-maths

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Re : Limite inférieure d'une suite

Bojour !

je me pose la question : et si la suite est périodique ?

Ou une périodicité sur le min ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (29-08-2024 14:54:05)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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Eust_4che

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Re : Limite inférieure d'une suite

Bonjour,

Je pense que la question est le provient de l'absence d'image claire des différentes suites en jeu. Dans le cas contraire, la réponse serait immédiate. Que se passe-t-il pour une suite croissante ?

E.

bridgslam

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Re : Limite inférieure d'une suite

Bonsoir

Pour la question c'est faux (sauf si la lim inf est $-\infty$ bien-sûr ) dans le cas fini.
Il suffit de considérer une suite convergente  qui tend vers sa limite par valeurs inférieures.
Il n'y a même aucun indice pour dépasser la limite.

Par-contre,  la suite dépasse toute valeur str. inférieure à la limite inférieure ( si elle est finie) à partir d'un certain rang, et demeure inférieure à toute valeur str. supérieure pour une infinité d'indices.

Résultats bien utiles.
Le contexte est cependant plus clair en précisant que vous supposez des suites de lim inf finies, car ce n'est pas toujours le cas atomatiquement.
A.

Dernière modification par bridgslam (29-08-2024 19:58:39)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bibmgb

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Re : Limite inférieure d'une suite

Bonjour,
Je m'imaginais des cas de suites qui ne convergent pas et qui oscillent entre leurs limite supérieure et inférieure.
Mais effectivement, si on prend par exemple une suite strictement croissante de limite [tex]\ell[/tex] alors [tex]\inf\{a_k,k\geq n\}=a_n[/tex]
et [tex]\sup_{n\geq 0}a_n=\ell[/tex] donc la limite inférieure est [tex]\ell[/tex], elle n'est jamais atteinte et n'est jamais dépassée.

bridgslam

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Re : Limite inférieure d'une suite

Bonjour,

La suite 1,-1,1,-1,....ne converge pas , oscille indéfiniment, mais vous n'avez pas non plus la propriété évoquée... avec inégalité stricte en tous cas.
Noter que vous supposer la suite minorée dans votre question
.

Autre exemple , une suite qui pour les indices n pairs vaut 1-1/n, sinon vaut 2....
On comprend mieux la question en sachant que lim inf et lim sup ( bornes des valeurs d'adhérence ) sont en fait des min et des max car elles en sont, avec un peu de topologie.

A.

Dernière modification par bridgslam (30-08-2024 08:49:30)

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bibmgb

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Re : Limite inférieure d'une suite

Merci pour ces précisions.