Le Triangle caché

Gthz62 · 21-08-2024 17:59:40

Bonjour.

Je suis nouveau et vous remercie de m'accueillir. Je précise tout de suite que je ne suis pas un matheux, donc j'ai sûrement commis des erreurs de base.

J'ai vu récemment sur une vidéo youtube une manipulation assez bluffante, au cours de laquelle un triangle équilatéral en puzzle assemblé dans un logement en bois était assemblé autrement... de manière à dégager assez d'espace pour y insérer un autre petit triangle équilatéral supplémentaire. Je vous joins le lien de la vidéo, ce sera plus parlant : Triangle caché

Comme je suis un peu bricoleur, je me suis dit que j'aillais construire cet objet, mais pour cela, il faudrait que je calcule les dimensions de ce petit triangle, ce qui suppose de calculer aussi la surface des 3 trapèzes qui forment les marges (car l'astuce est évidemment que le 1er triangle n'est pas collé à son logement et qu'il y a assez de marges pour y insérer le second une fois bien ajusté aux marges.

Mais je n'y arrive pas, mes résultats sont incohérents. Quelqu'un peut-il me dire où je me trompe ?

J'ai commencé par décider, arbitrairement, par fixer que mon triangle d'origine - équilatéral - ferait 14 cm de côté (au complet, c'est-à-dire avec son triangle supplémentaire), et que "la marge" de l'illusion serait de 1mm de tous les côtés.

En partant du côté (B), j'ai calculé la hauteur du triangle (H) au moyen de la formule sin(60).B, soit H=12,124 cm (ou 121,24 mm).

L'aire (A) de mon triangle est donc de (B.H)/2, soit 84,87 cm2 (ou 8487 mm2).

Puis - et c'est sans doute les premières marges d'erreur - j'ai voulu calculer l'aire du triangle "illusion", soit celui séparé du bord par une marge de 1 mm. Comme je ne suis pas très doué en trigonométrie, j'ai fait l'impasse du calcul exact de la marge aux pointes du triangle, qui manifestement est plus grande que 1 mm. J'ai donc empiriquement estimé mes nouvelles hauteurs (H') à H-3 (soit 1mm pour le départ, et environ le double à la pointe), soit H'=118,24 mm. Le côté B' est lui celui de B moins 1 mm de chaque côté (lâ encore je pense qu'il y a une petite marge d'erreur avec la pointe, mais bon), soit B-2. Du coup, B'=138 mm.

Sur cette base et la même formule, j'arrive à une aire du triangle "illusion" de A' = (B'.H')/2 = 8159 mm2.

Puis, en soustrayant l'aire du second triangle (A') au 1er triangle (A), j'obtiens en principe l'aire du petit triangle à insérer (a), soit 328 mm2. Donc un triangle équilatéral de 2,752 cm de côté (b) et de 2,383 cm de hauteur (h'). Là, déjà, je le trouve bien grand en proportion par rapport à la vidéo...

Mais cela devrait me suffire à ce stade pour bricoler mes triangles. Par acquit de conscience, j'ai toutefois voulu calculer l'aire des 3 trapèzes manquants dans la marge. Au total formant 328 mm2, chacun d'entre eux devrait faire 1/3 de cette valeur, soit a' = 109,333 mm2.

Soit t et t' la grande et la petite base, c les côtés et h'' la hauteur d'un trapèze. On connait sa grande base (=base du triangle complet, soit t = 140 mm), ainsi que sa hauteur (empiriquement fixée à 1 mm). Donc, avec la formule a'=((t+t').h'')/2, j'ai calculé que la petite base de mes trapèzes (t') ferait... 78,666 mm. Ce qui est impossible, car elle ferait à peine plus de la moitié de la grande base alors qu'elle devrait être plus courte de quelques mm seulement (on la connait d'ailleurs déjà puisque c'est B', la base du triangle "illusion").

Où est-ce que je me suis trompé ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide, j'aimerais pouvoir scier mes planches sans erreur ;)

Bernard-maths · 21-08-2024 20:41:52

Bonsoir !

J'ai dessiné le puzzle de départ : Triangle ABC équilatéral de côté 14 cm. Hauteur CD, D milieu de [AB]. Par D les perpendiculaires à [AC] coupé en E, et à [BC] coupé en F. A' symétrique de A par rapport à E, et B' symétrique de B par rapport à F. Par A' et B' on trace les perpendiculaires aux 2 côtés, qui se coupent au point G sur la hauteur. La droite (AG) va couper [DF] en J.
On a les 7 morceaux !
Tous les 4 triangles sont rectangles avec des angles de 30° et 60°, un triangle est équilatéral, et les 2 trapèzes rectangles ont des angles de 60° et 120°. Voici la figure :

Figure faite avec geoGebra. Les longueurs des différents segments se trouvent à gauche !

Si on découpe et qu'on rassemble selon la vidéo, on obtient un triangles équilatéral de 14,14 cm au lieu de 14 au départ ...

Personnellement, je ne ferais pas de support contour ...

Quant au petit triangle équilatéral qu'on rajoute, il fait 2,02 cm de côté.

Voilà, à plus !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-08-2024 20:53:14)

Gthz62 · 22-08-2024 09:29:57

Wow, impressionnant ! Merci pour toutes ces cotes, je vais mettre à la découpe ;)

Toutefois, je n'ai pas eu de réponse à ma question, à savoir où est-ce que je me suis trompé dans mes formules ? Pourquoi est-ce que je n'arrive pas à la bonne cote pour la base courte des trapèzes de marge ? (je sais, ce calcul est inutile pour faire mon bricolage, mais c'est par curiosité personnelle)

Pour ce qui est du support contour, je pense qu'il est utile et participe à l'illusion : il fait penser que le nouveau triangle à les mêmes dimensions, alors que sans, on peut se dire qu'on a augmenté sa surface (ce qui est le cas).

Dans mon exemple en outre, le triangle de 14 cm était le triangle complet, mais je vais essayer de comprendre ce goGebra pour tester cette cote.

Encore merci !

Bernard-maths · 22-08-2024 09:32:40

Bonjour !

STOP découpe ! Voici une autre approche :

je dessine le puzzle FINI en 14 cm de côté, comme toi.

Voici les constructions ...

Triangle ABC équilatéral 14cm de côté.PointD à 8cm de A (et donc 6cm de C). Point E à 4cm de A. Par D la perpendiculaire à (AC), sur laquelle F est à 6,93cm de D, et G milieu de [DF].Par F et G on trace les perpendiculaires à (DF) (ou parallèles à (AC)), qui coupent (BC) en H et I. Par F on trace la perpendiculaire à (DE) (ou parallèle à(AB)) qui coupe (DE) en J et (BC) en L. Il rest le point Kqui est la projection de F sur (AB), tracer la perpendiculaire issue de F.

Donc tu es parti de cette configuration, c'est plus simple à mettre en oeuvre ... D est facile à placer, F, G et E aussi.

remarque : pour avoir DF = 6,93cm il faut utiliser un logiciel ... sinon à la main on prend 6,9cm + un tiers de mm au pif ...

Si je le fais, je dessinerai la figure sur un carton "épais" carré de 20cm, et je découperai au cutter. Ainsi j'aurai le cadre ...

En enlevant le petit triangle, le résultat donne un triangle avec une marge de 1,21mm ...

Bonne bricole, tiens nous au courant !

Voici le programme GeoGebra :

https://www.cjoint.com/doc/24_08/NHwkkl … -08-22.ggb

Bernard-maths

PS : pour savoir où est ton erreur j'ai pas cherché longtemps, y'a pas de figure, et j'ai laissé tomber !

Dernière modification par Bernard-maths (22-08-2024 15:41:56)

Bernard-maths · 22-08-2024 15:52:39

Bonjour à tous !

Le puzzle ci-dessus demande que l'une des pièces soit retournée ?

Autrement dit, si les deux faces des pièces sont de deux couleurs différentes, en partant d'une configuration d'une seule couleur, on ne peut pas obtenir l'autre configuration en une seule couleur ...

Comment modifier une découpe pour que ce soit possible ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (22-08-2024 15:53:09)

Gthz62 · 28-08-2024 17:05:53

A ma connaissance, les pièces ne peuvent pas être retournées (sauf le petit triangle qui est symétrique dans tous les axes bien sûr).

As-tu une solution pour que ce soit possible ?

Bernard-maths · 28-08-2024 17:40:16

Bnsoir !

Il y a deux petits triangles rectangles, et l'un des deux doit être retourné ... ! ? Vérifie.

Donc il faut en couper un en deux, par exemple en traçant JG ...

Ce qui permettra de faire dans une couleur ou dans l'autre.

Sauf erreur bien sur !

B-m

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 21-08-2024 17:59:40

Le Triangle caché

#2 21-08-2024 20:41:52

Re : Le Triangle caché

#3 22-08-2024 09:29:57

Re : Le Triangle caché

#4 22-08-2024 09:32:40

Re : Le Triangle caché

#5 22-08-2024 15:52:39

Re : Le Triangle caché

#6 28-08-2024 17:05:53

Re : Le Triangle caché

#7 28-08-2024 17:40:16

Re : Le Triangle caché

Réponse rapide

Pied de page des forums