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bibmgb

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Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,
On donne la fonction [tex]f[/tex] définie par [tex]f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1-x)^n}{n^2}[/tex] et on demande de donner le domaine D de définition de [tex]f[/tex].

Je pense que [tex]D=]0,1[[/tex] et je souhaiterais savoir si la façon de rédiger la réponse est complète et rigoureuse.
Voici donc ce que j'écrirais :

[tex]\sum x^n \text{ et }\sum (1-x)^n[/tex] sont deux séries géométriques de raisons respectivement x et 1-x.
Ces deux séries convergent si et seulement si [tex]-1<x<1[/tex] et [tex]-1<1-x<1[/tex] ce qui revient à [tex]x\in]0;1[[/tex].

Ainsi dans le cas [tex]x\in]0;1[[/tex] on a pour tout [tex]n\geq 1[/tex], [tex]0<\dfrac{x^n}{n^2}\leq x^n[/tex] et [tex]0<\dfrac{(1-x)^n}{n^2}\leq (1-x)^n[/tex]. Par comparaison de séries à termes positifs, les séries [tex]\sum\dfrac{x^n}{n^2}\text{ et }\sum\dfrac{(1-x)^n}{n^2}[/tex] convergent et f(x) est bien définie sur [tex]]0;1[[/tex].

Cette réponse est-elle complète ou manque-t-elle de précision ? En effet, on peut avoir deux séries divergentes dont la somme est convergente. Mais ici je ne vois pas comment justifiez simplement que ce n'est pas le cas.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Je viens de me rendre compte que si x=1, [tex]\sum \dfrac{x^n}{n^2}=\sum \dfrac{1}{n^2}[/tex] converge car c'est une somme de Riemann convergente (2>1), de plus [tex]\sum \dfrac{(1-x)^n}{n^2}=\sum 0 [/tex].
Donc on peut inclure 1 dans le domaine de définition.
Même raisonnement pour [tex]x=0[/tex] donc D=[0;1].

Lorsque [tex]x>1[/tex], on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{x^n}{n^2}=+\infty[/tex] par croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances (je ne sais pas si c'est une formulation correcte). Donc la série [tex]\sum \dfrac{x^n}{n^2}[/tex] diverge grossièrement.
De même pour [tex]x<0[/tex], on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{(1-x)^n}{n^2}=+\infty[/tex] par croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances. Donc la série [tex]\sum \dfrac{(1-x)^n}{n^2}[/tex] diverge grossièrement.

Si on voulait justifier jusqu'au bout que quand on est dans le cas [tex]x>1[/tex] et [tex]x<0[/tex], alors f(x) n'est pas définie, on rentre dans des explications à rallonge que je ne saurais pas synthètiser pour faire court et rester rigoureuse.

Dernière modification par bibmgb (13-08-2024 18:53:53)

Fred

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonsoir,

  A partir du moment où tu écris $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1-x)^n}{n^2},$ alors on demande pour que $x$ soit dans le domaine de définition de $f$ que les deux séries convergent. Donc ta justification que si $x<0$ et si $x>1$ alors $f(x)$ n'est pas définie est correcte.
Ce serait différent si on avait posé $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{x^n}{n^2}+\frac{(1-x)^n}{n^2}\right).$

F.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

La suite de l'exercice demande d'étudier la continuité de f.
J'ai donc essayé de montrer la convergence normale des deux séries sur [0;1].
Dans les deux cas, le sup sur [0,1] du terme général est [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex] qui est le terme général du série de Riemann convergente donc on a convergence normale donc la continuité est préservée en passant à la somme de la série donc [tex]f[/tex] est continue sur [0;1].
Dans ce cas, on a pu montrer la convergence normale mais si on est dans un cas où la série ne converge pas normalement on doit montrer la convergence uniforme.
Ici, il s'agirait de montrer que [tex]\sup_{[0;1]}\sum_{k>n}\dfrac{x^n}{n^2}[/tex] tend vers 0 quand n tend vers [tex]+\infty[/tex].
A-t-on la droit d'intervertir le sup et la somme infinie ? C'est à dire d'écrire [tex]\sup_{[0;1]}\sum_{k>n}\dfrac{x^n}{n^2}=\sum_{k>n}\sup_{[0;1]}\dfrac{x^n}{n^2}=\sum_{k>n}\dfrac{1}{n^2}[/tex] qui est le reste d'ordre n d'une série convergente donc la limite est 0 en [tex]+\infty[/tex].

Par ailleurs on demande d'exprimer f'(x) avec les fonctions usuelles.
Comme on ne demande pas d'étudier la dérivabilité de [tex]f[/tex], je suppose que l'on ne demande pas de montrer que la série des dérivées converge uniformément sur I.
J'ai donc dérivé sans prendre de précaution et j'obtiens ceci :
[tex]f'(x)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{x^{n-1}}{n}-\sum_{n\geq 1}\dfrac{(1-x)^{n-1}}{n}=\dfrac{1}{x}\sum_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{n}-\dfrac{1}{1-x}\sum_{n\geq 1}\dfrac{(1-x)^{n}}{n}[/tex]
On reconnaît ensuite le développement en série entière de la fonction logarithme et il me semble donc que l'on peut écrire :
[tex]f(x)=-\dfrac{1}{x}\ln(1-x)+\dfrac{1}{1-x}\ln x[/tex]

Dans la dernière question on demande de déduire [tex]f(x)[/tex], il faut donc primitiver l'expression obtenue précédemment.
Or je sais que [tex]\dfrac{(\ln(1-x))^2}{2}[/tex] est une primtive de [tex]-\dfrac{1}{1-x}\ln(1-x)[/tex] mais le problème c'est que j'ai [tex]-\dfrac{1}{x}[/tex] et non [tex]-\dfrac{1}{1-x}[/tex].
Pouvez-vous me dire où je me suis trompée ?

Merci.

Fred

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,

  Non on n'a pas le droit d'échanger sup et somme.
Pour déterminer l'expression de f(x), il suffit d'obtenir celle de la première somme la seconde se déduit par changement de variable.

F.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,

Est-il alors possible ici de montrer la convergence uniforme sans passer par la convergence normale ? Je sais que pour les séries alternées il y a un critère qui permet de majorer le reste d'ordre n et donc de montrer la convergence uniforme directement. Mais ici on est dans le cas d'une série à termes positifs.

Pour la première somme j'obtiens [tex]-\dfrac{1}{x}\ln (1-x)[/tex] que je ne sais pas primitiver. En effet la dérivée de [tex]\dfrac{(\ln(1-x))^2}{2}[/tex] est  [tex]-\dfrac{1}{1-x}\ln(1-x)[/tex] et non de  [tex]-\dfrac{1}{x}\ln (1-x)[/tex].

J'ai donc dû faire une erreur quelque part.

Fred

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Re-

  Ici, la façon la plus facile pour démontrer la convergence uniforme est réellement la convergence normale...
Les autres outils pour démontrer la convergence uniforme (par exemple, critère des séries alternées, comparaison à une intégrale, transformation d'Abel) ne semblent pas adaptés.

Pour justifier ton calcul de dérivée, tu peux t'appuyer sur la théorie des séries entières.

F.

F.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,
Je pense avoir trouvé l’expression de f avec les fonctions usuelles. Si je ne me suis pas trompée, alors [tex]f’(x)=-\dfrac{1}{x}\ln(1-x)+\dfrac{1}{1-x}\ln(x)[/tex]. En cherchant je suis arrivée à l’expression [tex]f(x)=[/tex] [tex]-\ln(x)\ln(1-x)[/tex].
Merci et bonne soirée.

Dernière modification par bibmgb (16-08-2024 18:27:41)

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonsoir,

Quel est le signe de cette solution, est-ce compatible du signe de $ f $ ? (Série à termes positifs)

Que vaut f en 0 et 1 ? Manifestement l'énoncé attend une réponse et ce résultat n'est défini ni en 0, ni en 1.

Que vaut f en 0 et 1 bis repetita. Si on considère le prolongement continu, est-ce compatible ?

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

[tex]f(0)=f(1)=\dfrac{\pi^2}{6}[/tex]
Effectivement il y a un problème de signe, f est par définition une fonction à valeurs positives (en tant que somme de séries à termes positifs); or pour [tex]x\in ]0,1[[/tex], [tex]\ln x[/tex] et [tex]\ln(1-x)[/tex] sont strictement négatifs donc leur produit est strictement positif et [tex]-\ln(x)\ln(1-x)<0[/tex]. Donc c’est faux. J’ai repris mes calculs mais je ne trouve pas mon erreur.

Totototo

Invité

Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,

Difficile de dire où est l'erreur sans le détail des calculs. Si les calculs d'un précédent message sont corrects, je dirais (à vérifier) qu'il s'agit d'un oubli de la constante d'intégration.
On aurait : il existe une constante C telle que
$\forall x\in ]0;1[, f(x)=C+g(x)$
où g est le résultat faux.
La continuité de $f$ en 0 permet de calculer C, et on connaîtrait alors $f$ partout sur $[0;1]$.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,

[tex]\ln(1-x)\underset{0^+}{\sim}-x[/tex] donc [tex]\underset{0^+}{\lim} -\ln x\ln(1-x)=\underset{0^+}{\lim} -\ln x (-x)=\underset{0^+}{\lim} x\ln x=0[/tex] par croissance comparée des fonctions logarithme et puissance.

De même [tex]\ln(x)\underset{1^-}{\sim} x-1[/tex] donc [tex]\underset{1^-}{\lim} -\ln x\ln(1-x)=\underset{1^-}{\lim} -(x-1)\ln(1-x)=\underset{1^-}{\lim} (1-x)\ln(1-x)=\underset{0^+}{\lim} X\ln X=0[/tex].

Par ailleurs, on pose pour [tex]x\in]0;1[[/tex], [tex]f(x)=-\ln x\ln(1-x)+C[/tex] et [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=C=\dfrac{\pi^2}{6}[/tex].

Ainsi [tex]f(x)=-\ln x\ln(1-x)+\pi^2/6[/tex] pour [tex]x\in]0;1[[/tex] et [tex]f(x)=\pi^2/6[/tex] pour [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=1[/tex].

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,
Afin d'être complète sur cet exercice, j'ai essayé de montrer la convergence uniforme de la série des dérivées.
Je rappelle que [tex]f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1-x)^n}{n^2}[/tex].
Je pose [tex]g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}[/tex] et [tex]h(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1-x)^n}{n^2}[/tex].
Ces deux séries convergent normalement sur [0,1] car la norme sup sur [0,1] du terme général est le terme général d'une série de Riemann convergente ([tex]1/n^2[/tex]).
Par contre quand je passe à la série des dérivées : [tex]g'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n}[/tex], la norme infinie sur [0,1] du terme général est cette fois-ci une série de Riemann divergente ([tex]1/n[/tex]). Donc on n'a pas la convergence normale de la série des dérivées.
Je dois donc montrer la convergence uniforme, à savoir que [tex]\lVert\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{x^{k-1}}{k}\rVert_{\infty,[0,1]}[/tex] tend vers 0 quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
Et là je ne sais pas comment m'y prendre.
Quelqu'un aurait-il une piste à me donner ?
Merci pour votre aide.

Dernière modification par bibmgb (29-08-2024 12:02:22)

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonsoir,

Pour tout $n$, cette norme infinie vaut $+\infty$, en particulier il n'y a pas convergence uniforme sur $[0;1]$ (ni sur $[0;1[$ d'ailleurs  pour éviter 1 où f vaut $+\infty$).

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Coquille où g' vaut plus infini.

J'imagine que c'est pour chercher à justifier le calcul formel pour la dérivée ???
Soit on utilise la théorie des séries entières comme suggéré par un intervenant, soit si on ne connait rien des séries entières, il suffit d'éprouver la convergence uniforme (normale) sur tout segment $[0;a]$ où $a\in ]0;1[$. Se souvenir que la propriété être dérivable est une notion locale.
En fonction du théorème dont on on dispose, ill peut s'avérer nécessaire (pour rentrer dans les hypothèses du théorème) de vérifier que la série des dérivées est continue (probable vu le niveau des questions).

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … suiserfonc

Voir  théorème dérivabilité et plus bas le mode d'emploi.

bibmgb

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonsoir,

Pour tout $n$, cette norme infinie vaut $+\infty$, en particulier il n'y a pas convergence uniforme sur $[0;1]$ (ni sur $[0;1[$ d'ailleurs  pour éviter 1 où f vaut $+\infty$).

Vous dîtes cela parce que la série de terme général [tex]\dfrac{x^{n-1}}{n}[/tex] ne converge pas simplement en 1 ?
En tous les cas il y a convergence simple sur [0;1[.

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Bonjour,

Oui, via théorème de convergence monotone.
Ici on peut faire à la main (car ce théorème est très au dessus du niveau de cet exercice).

On peut en écrire une version plus élémentaire.
Soit $(a_n)$ une suite réelle positive.
1) Si $\sum a_n<+\infty$, alors la limite lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures de $f(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
2)Si $\sum a_n=+\infty$, alors la limite lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures de $f(x)$ vaut $+\infty$.

Preuve de 2)
$f$ est une fonction croissante de $x$ sur $[0;1[$ donc possède une limite lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures éventuellement égale à+ infini qu'on note $L$.
$\forall n, \forall x\in [0; 1[, f(x)>=\sum_{k=0}^{n} a_kx^k$ d'où par passage à la limite lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures,

$\forall n, L>=\sum_{k=0}^{n} a_k$ puis par passage à la limite lorsque $n$ tend vers l'infini, $L=+\infty$

Utiliser 2) pour le reste de votre série (qui est une fonction croissante de x sur $ [0;1[$ : sup =limite en 1 par valeurs inférieures c'est la même chose)

Totototo

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Re : Domaine de définition d'une somme de séries de fonctions

Coquille au niveau de l'égalité pour 1)
$f(x)$ est la somme de la série (qui est bien définie et croissante sur $[0;1]$).
Correction coquille : la limite de $f(x)$ lorsque x tend vers $1^{-}$ vaut $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$