Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ArthurPrime

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Th. prolongement d'une dérivée

Bonsoir à vous,

Théorème de prolongement d'une dérivée : Soit I un intervalle, a ∈ I, f: I→R une fonction continue sur I et dérivable sur I∖{a}. On suppose que f′ admet en a une limite ℓ ∈ R barre. Alors lim x → a de f(x)−f(a)/x-a = ℓ.En particulier, si ℓ ∈ R, f est dérivable en a et f′ est continue en a avec f′(a)=ℓ.

Il s'avère que je ne comprends pas bien ce théorème appliquée à la fonction f(x)=x carré*sin(1/x).
En effet, en faisant le taux d'accroissement et en appliquant ce théorème en 0, on obtient lim x*sin(1/x) ce qui vaut 0 donc cela veut dire que f est dérivable en 0 et que f' est continue en 0 et de ce fait je dérive f et bien évidemment je trouve que f' n'est pas continue en 0. En résumé, je ne pense pas avoir saisi la subtilité du théorème, pouvez-vous m'éclairer ?

Merci par avance,
Cdt,

Fred

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Re : Th. prolongement d'une dérivée

Bonjour

  Il ne faut pas appliquer le théorème au taux d'accroissement mais à la dérivée....

F.

Arthur_Reponse_Bibmaths

Invité

Re : Th. prolongement d'une dérivée

Bonjour à vous,

Ce que vous me dites est en complète contradiction avec le lemme dans ce cas là puisqu’on fait bien référence au taux d’accroissement et puis je voulais juste savoir si f était C1 donc le théorème doit être appliqué à f pas f’ ?
Je ne suis pas sûr de tout saisir pour le coup mais d’après l’intitulé du théorème, j’ai l’impression qu’il y a une contradiction.

Bonne journée à vous,

Fred

Administrateur

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Re : Th. prolongement d'une dérivée

Le théorème dit que si f' admet une limite en 0 alors f est dérivable en 0 et f' est continue en 0. Ce n'est pas du tout ce que tu fais quand tu cherches la limite du taux d'accroissement...

Arthur_Reponse

Invité

Re : Th. prolongement d'une dérivée

Bonjour,

Je comprends tout à fait ce que vous me dites et qui est juste mais je ne comprends pas le lien entre le théorème et le taux d’accroissement alors. f’ en 0, c’est équivalent à la limite du taux d’accroissement en 0. Donc en fait, je ne comprends pas pourquoi lorsque on fait la limite du taux d’accroissement on trouve un réel et si on calcule la limite de la dérivée en ce point on trouve un truc qui oscille.
Désolé encore,
Bonne journée à vous,
Cdt

Michel Coste

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Re : Th. prolongement d'une dérivée

Bonjour,
Le théorème que tu cites dit que si $f'$ a une limite en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.
Toi, tu as une fontion $f$ dérivable en $0$ mais telle que $f'$ n'a pas de limite en $0$, et tu as l'air de penser que c'est contradictoire avec le théorème.
Est-ce que tu ne confondrais pas une implication et sa réciproque ?

Dernière modification par Michel Coste (09-08-2024 15:56:11)

Arthurrrrrrrrrrrrrrr

Invité

Re : Th. prolongement d'une dérivée

Bonsoir,

Juste pour être sûr, ce théorème s’applique uniquement lorsqu’on a la dérivée de f, on peut pas l’utiliser dans le cadre du taux d’accroissement par conséquent ?

Bonne soirée à vous et merci,