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Loan33700

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Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Bonjour,

Je cherche à déterminer la fonction d'offre lorsque le coût total $CT$ est tel que $CT \propto Q$ avec $Q$ la quantité de bien produite, à un prix $p$. Cela me pose un problème. En effet, on a $CT = \alpha Q$ et donc $Cm = \alpha$. Ainsi la fonction de profit vaut $\Pi = pQ-\alpha Q$. On veut minimiser $\Pi$, soit $\Pi '=0$ qui donne $p = \alpha$. Mais alors $p$ ne dépend pas du tout de $Q$ et on ne peut pas trouver de fonction d'offre non ?

Je pose la question car je traite un exercice où la fonction de production est une fonction de Cobb-Douglas tel que $Q = K^{1/2}L^{1/2}$ et donc j'ai $K,L \propto Q$, ce qui implique que $CT \propto Q$ mais on me demande de déterminer la fonction d'offre ...

Merci pour votre aide,
Bien à vous,
Loan

Dernière modification par Loan33700 (03-06-2024 22:03:59)

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Bonjour Loan,

Puisque $CT = \alpha Q$, il est possible d'exprimer $\alpha$ en fonction de $CT$ et $Q$, et tu pourras alors exprimer $Q$ en fonction de $CT$ et $p$.

Dernière modification par Quentin179 (04-06-2024 19:05:24)

Loan33700

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Je ne comprends vraiment, comme je l'ai dit dans mon premier message, on a $p = \alpha$ et donc $Q = CT/p$, mais ça fait un peu serpent qui se mord la queue car $CT = \alpha Q$ et on a juste $Q=Q$ ...

Eust_4che

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Bonjour à tous,

La fonction $\Pi$ est une "droite" :
$$\Pi(Q) = (p - \alpha) Q.$$
Donc :

1) Si $p = \alpha$, $\Pi$ est identiquement nulle, et n'importe quelle quantité $Q$ maximise le profit.
2) Si $p < \alpha$, la quantité qui maximise le profit est $Q = 0$, puisque $Q \geq 0$.
3) Si $p > \alpha$, $\Pi$ est une fonction strictement croissante de $Q$. Il n'y a donc pas de maximum, sauf si on autorise $Q = + \infty$. En principe, il y a une contrainte $Q \leq$ un certain volume. Ce volume est donc la solution.

E.

Dernière modification par Eust_4che (04-06-2024 21:34:30)

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Ok, je n'avais pas assez réfléchi.

En toute généralité, on a $Q(K,L) = AK^\alpha L^\beta$, dont le rapport d'échelle est $\alpha+\beta$.
Après tout un tas de calculs fastidieux, on obtient une fonction d'offre qui ressemble à
$$ Q(p) = p^{\frac{\alpha+\beta}{1-(\alpha+\beta)}}(Ar^{-\alpha}w^{-\beta}\alpha^\alpha \beta^\beta)^{\frac{1}{1-(\alpha+\beta)}}, $$
où $r$ et $w$ représentent respectivement le taux d'intérêt et le taux de salaire.
On constate tout de suite que la fonction d'offre n'est pas définie lorsque le rapport d'échelle est égal à $1$, ce qui est ton cas...

J'espère que ça répond à ta question !

Loan337001

Invité

Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Merci pour vos réponses. Je suis entièrement d'accord avec vous. Mais dans ce cas, que pensez-vous qu'il est attendu de la question 4 de cet exercice ? On est dans le cas d'une production à 3 facteurs mais le problème est toujours le même car la somme des exposants vaut 1 et le cout total est encore une fonction linéaire en Q.

J'aurai tendance à dire que le profit est nul à long terme, mais quid de la fonction d'offre ...

Merci pour votre aide !

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

On tombe sur le même problème que précédemment, la fonction d'offre est
$$ Q(p) = p^{\frac{\alpha+\beta+\gamma}{1-(\alpha+\beta+\gamma)}}(A r_1^{-\alpha}r_2^{-\beta}\omega^{-\gamma} \alpha^\alpha \beta^\beta \gamma^\gamma)^{\frac{1}{1-(\alpha+\beta+\gamma)}}. $$
En revanche, si tu travailles à court terme pour au moins l'un des deux capitaux, je pense que tu peux t'en sortir puisque le facteur d'échelle sera différent de $1$.

Loan337001

Invité

Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Merci pour ta réponse.

En pratique, qu'est ce que le fait de travailler à court terme s'il te plaît ?

Dans le cas de mon énoncé tu penses que je devrais simplement répondre "Q n'est pas définie", ou faire l'hypothèse de travailler à court terme ?

Il s'agit en fait d'une annale d'examen et je cherche à comprendre ce que je devrais répondre si le problème se présente au concours d'admission.

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

En pratique, cela revient à supposer que l'un des capital est constant. Par exemple, supposons que la fonction de production soit $Q(K_1,K_2,L) = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma$.
Supposer que l'on travaille à court terme pour le capital $K_1$, revient à considérer la "nouvelle" fonction de production $Q(K_2,L) = A\overline{K_1}^{\,\alpha} K_2^\beta L^\gamma$ (le fait d'ajouter une barre au dessus de $K_1$ est la notation usuelle pour indiquer que l'on ne considère plus $K_1$ comme étant une variable de la fonction de production). Ainsi, le nouveau facteur d'échelle est $\beta+\gamma$, et la fonction de d'offre devient
$$ Q(p) = p^{\frac{\beta+\gamma}{1-(\beta+\gamma)}}(A\overline{K_1}^{\,\alpha} r_2^{-\beta}\omega^{-\gamma}\beta^\beta \gamma^\gamma)^{\frac{1}{1-(\beta+\gamma)}}. $$

En ce qui concerne ton examen d'admission, je dirais que la réponse dépend fortement du temps que tu as devant toi :
- si tu n'en as pas, à ta place je répondrai que $Q(p)$ n'est pas définie mais qu'en considérant du court terme sur l'un des capitaux il est possible de trouver une fonction d'offre ;
- si tu en as beaucoup, je ferai tous les calculs qui permettent de montrer que $Q(p)$ n'est pas définie, puis je me placerai dans le cadre de court terme par rapport à un des capitaux et je referai tous les calculs puis répondrai à la question.

Encore une fois, tout dépend du temps que tu as et que tu es prêt à accorder à la question. Tu peux bien sûr choisir une façon de répondre intermédiaire entre ces deux extrêmes.
Si je peux me permettre, quelle école souhaites-tu intégrer ?

Loan337001

Invité

Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Super, c'est extrêmement clair, merci du temps que tu as pris pour m'aiguiller.

Il s'agit de la L3 de Dauphine en "parcours grande école". J'ai fais MPSI-MP* -> ENSTA (actuellement en 2A) et ce double cursus m'intéresse mais le dossier n'est pas suffisant. Je dois également passer une épreuve de microéconomie, sauf que je n'ai jamais eu de cours à ce sujet. J'apprends donc de 0 à partir des deux annales que je possède et des cours sur internet ...

Loan337001

Invité

Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

J'en profite également pour te demander si la réponse à la question 2 attendue est :

$$\frac{1}{r_1} \frac{\partial Q}{K_1} = \frac{1}{r_2} \frac{\partial Q}{K_2} = \frac{1}{w} \frac{\partial Q}{L} = \lambda$$

J'ai vu ça dans plusieurs cours mais le terme propre de "condition marginale" n'est jamais évoqué ...

Merci pour ton aide

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Ce que souhaite le producteur, c'est minimiser son coût $r_1K_1+r_2K_2+\omega L$, tout en ayant une production $Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma$. Autrement dit, il cherche à résoudre le problème d'optimisation sous contraintes suivant (ce qui répond à la première question):
$$ \min_{Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma} r_1K_1+r_2K_2+\omega L $$
Pour le résoudre, on écrit le lagrangien qui lui est associé :
$$ \mathcal{L}(K_1,K_2,L;\lambda) = r_1K_1+r_2K_2+\omega L + \lambda(Q - AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma), $$
et les conditions marginales demandées sont alors
$$ \left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K_1}(K_1^\star,K_2,L;\lambda) = 0\ ; \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K_2}(K_1,K_2^\star,L;\lambda) = 0\ ; \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}(K_1,K_2,L^\star;\lambda) = 0.
\end{array}\right. $$
Telles qu'elles, ces conditions marginales sont assez fastidieuses à expliciter. Une astuce est de réécrire la contrainte $Q = AK_1^\alpha K_2^\beta L^\gamma$ en $\ln{Q} = \ln{A}+\alpha\ln{K_1}+\beta\ln{K_2}+\gamma\ln{L}$ (ces deux égalités sont bien équivalentes car les quantités considérées sont strictement positives), le lagrangien devient
$$ \mathcal{L}(K_1,K_2,L;\lambda) = r_1K_1+r_2K_2+\omega L + \lambda(\ln{Q} - \ln{A}-\alpha\ln{K_1}-\beta\ln{K_2}-\gamma\ln{L}), $$
et les conditions marginales s'écrivent finalement (après calcul) :
$$ \left\{\begin{array}{l}
r_1-\frac{\lambda\alpha}{K_1^\star} = 0\ ; \\
r_2-\frac{\lambda\beta}{K_2^\star} = 0\ ; \\
\omega-\frac{\lambda\gamma}{L^\star} = 0.
\end{array}\right. $$

Je pense que tu peux t'arrêter là pour répondre à la question 2 (pour être honnête, je n'en sais rien : je trouve l'énoncé assez mal posé). Puisque les valeurs optimales $K_1^\star$, $K_2^\star$ et $L^\star$ sont nécessaires à la résolution de la question 3, voici comment t'y prendre ainsi que le résultat :

Il suffit d'exprimer $K_1^\star$ et $K_2^\star$ en fonction de $L^\star$, puis d'exprimer $Q$ en fonction de $L^\star$ seulement, de déterminer $L^\star$, et finalement $K_1^\star$ et $K_2^\star$. À la fin des calculs, on trouve
$$ \left\{\begin{array}{l}
K_1^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{-\frac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}}\ ; \\
K_2^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{-\frac{\alpha+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}}\ ; \\
L^\star = \left(\frac{Q}{A}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_1}{\alpha\omega}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}}\left(\frac{\gamma r_2}{\beta\omega}\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}}.
\end{array}\right. $$

Je t'invite d'aller faire un tour sur la chaîne "Exercices Economie / Flavien De Bock" : https://www.youtube.com/@exerciceseconomieflaviende934, tu y trouveras notamment une playlist "Cobb-Douglas et producteur" qui déroule tous les calculs (ou presque, mais les manquants sont dans ce post) nécessaires à la résolution de ton exercice.

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Pour répondre de façon un peu plus booléenne à ta question : tout dépend de comment est défini ton $\lambda$ !
Avec ma définition de $\lambda$ (comme étant le multiplicateur de Lagrange associé au premier problème d'optimisation que j'ai écrit), les conditions marginales sont
$$ \frac{1}{r_1}\frac{\partial Q}{\partial K_1}(K_1^\star,K_2,L) = \frac{1}{r_2}\frac{\partial Q}{\partial K_2}(K_1,K_2^\star,L) = \frac{1}{\omega}\frac{\partial Q}{\partial L}(K_1,K_2,L^\star) = \frac{1}{\lambda}. $$

Dernière modification par Quentin179 (05-06-2024 20:43:01)

Loan33700

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Juste un mot : Merci beaucoup !

Quentin179

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Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

Je t'en prie !

Loan337001

Invité

Re : Microéconomie : Fonction d'offre à prix constant

@Quentin179

Les résultats sont tombés, je suis admis. Je te remercie une nouvelle fois pour ton aide !