Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 228

Organisation d'un tournoi

Bonjour,

  Ma fille m'a posé la question suivante, à laquelle je n'ai pas vraiment eu le temps de réfléchir.
Elle souhaite organiser un jeu. Six équipes participent à ce jeu, et dans l'idéal, il y a 5 ateliers.
Sur chaque atelier, on peut organiser un match où deux équipes s'affrontent.
Est-il possible d'organiser un tournoi de sorte que chaque équipe fasse cinq matchs, affronte les 5 équipes adverses,
et joue sur les 5 ateliers?

S'il n'y avait pas le problème des ateliers, on se ramène au problème du tournoi bien connu en théorie des graphes et lié au degré des graphes. Ici, je ne sais pas trop comment faire.

Fred.

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 135

Re : Organisation d'un tournoi

Bonjour Fred,
Je ne connais rien à la théorie des graphes, mais je me lance !
Hypothèse générale, il n'y a aucune contrainte de simultanéité pour le programme des rencontres, les équipes s'affrontent quand elles sont disponibles.
Si chaque équipe n'affronte qu'une fois l'une des autres, il n'y aura que 15 matchs, et 3 sur chacun des 5 ateliers.
Il s'agit d'attribuer à chaque match, soit à chaque couple d'équipes, l'un des cinq ateliers, avec la contrainte qu'une équipe ne passe qu'une seule fois sur chaque atelier.
On peut commencer ainsi, avec les équipes A, B, C, D, E et F sur les ateliers 1, 2, 3, 4 et 5, avec la notation (équipe/équipe)/atelier :
Avec (A/B)/1, (A/C)/2, (A/D)/3, (A/E)/4, et (A/F)/5, le programme de l'équipe A est bouclé.
Pour l'équipe B, puisqu'elle a déjà rencontré l'équipe A sur l'atelier 1 et que l'équipe C est déjà passée sur l'atelier 2, on programme (B/C)/3, (B/D)/4, (B/E)/5 et (B/F)/2.
Pour l'équipe C, suivant un raisonnement similaire, on complète avec (C/D)/5, (C/E)/1 et (C/F)/4.   
Avec cela, on peut commencer à remplir un tableau sur 5 lignes (ateliers) et 3 colonnes (matchs) :
atelier 1 :    A/B      C/E      D/F
atelier 2 :    A/C      B/F      D/E
atelier 3 :    A/D      B/C      E/F
atelier 4 :    A/E      B/D      C/F
atelier 5 :    A/F      B/E      C/D
Et les trois cases restantes sont faciles à remplir avec les couples manquants dans les lignes, à savoir D/F, D/E et E/F !
Et la cerise sur le gâteau, on constate que les quinze matchs peuvent tous avoir lieu en trois sessions, sans aucun problème de timing pour une équipe !
Finalement, je dirais que c'est un problème d'analyse combinatoire, plutôt que de théorie des graphes ...
Question : peut-on généraliser la question et la méthode avec d'autres nombres d'équipes et d'ateliers ? Sans doute oui, voir les tournois de bridge ou de belote ...
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (30-05-2024 12:57:43)

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 273

Re : Organisation d'un tournoi

Bonjour.

Je n'ai pas trop le temps tout de suite de rechercher plus loin que cela, mais tout ceci me fait penser au problème d'Oberwolfach.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 223

Re : Organisation d'un tournoi

Salut,

J'ai l'impression que ce n'est pas pas qui est demandé...
A tout hasard, Voici les tabelles d'appariements aux échecs pour tournois "toutes rondes" (chacun joue contre tous les autres, en alternant les parties avec les pièces Blanches ou Noires,le 1er numéro cité prend les Blancs. Celui qui a les pièces blanches commence).

Ce sont des tabelles officielles de la Fédération Internationale du Jeu d'Echecs, que j'ai scannée d'un Livret offert (il y a trèèèèèèès longtemps) par les Responsables échiquéens du Canton de Genève...
1 collègue et moi avions emmené des élèves rencontrer des genevois...
Expérience inoubliable : où croyez-vous que nous avions dormi ?
Cherchez pas, vous ne trouveriez pas : dans un abri antiatomique !...

Au passage, s'il n'y a pas trop de participants, pour une équité absolue on peut concevoir un tournoi à 2 tours en avec 1 deuxième tour en inversant les couleurs : ainsi  chaque joueur aura rencontré chacun des autres une fois avec les pièces Blanches, une fois avec les pièces Noires...
En cas de nombre impair, à chaque série de matches, il y a un exempt (différent).

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 228

Re : Organisation d'un tournoi

Bonjour,

  Merci Jean-Louis pour ta proposition ! Il est vrai que l'idéal aurait été que l'on puisse organiser cela de sorte qu'on puisse toujours faire 3 matchs simultanément, de sorte qu'aucune équipe ne soit en attente. Je ne sais pas si cela est possible, mais je pense que ma fille peut s'arranger à faire participer toutes les équipes à un des 5 ateliers en même temps, et alors ça fonctionne.

A+
F.

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 135

Re : Organisation d'un tournoi

Bonjour à tous !
Fred, j'essaie de trouver un schéma qui permette de répartir ces quinze matchs en cinq sessions de trois, mais apparemment ce n'est pas aussi simple que la première question ...
Là, il faut que j'aille faire mon marché, je reviens après !
Bien amicalement, JLB

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 135

Re : Organisation d'un tournoi

Bonjour Fred,
Tant avec le schéma donné plus haut qu'avec la variante suivante :
atelier 1 :    A/B      C/E      D/F
atelier 2 :    A/C      B/D      E/F
atelier 3 :    A/D      B/E      C/F
atelier 4 :    A/E      B/F      C/D
atelier 5 :    A/F      B/C      D/E
tous mes essais sont infructueux : je n'arrive pas à rassembler ces quinze matches en 5 sessions de 3, car il y a toujours un truc qui coince, soit que deux matchs devraient se dérouler en même temps sur le même atelier, soit qu'une équipe devrait en affronter deux au même moment ... Je crains que ta fille ne doive prévoir six sessions !
Bien amicalement, JLB