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Pol de Tayrac

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Topologie engendrée par une famille de parties

Bonjour,
Je n'ai pas bien compris la dernière partie de la preuve de la proposition :

Soit  X  un ensemble, A ⊂ P(X), T  la topologie engendrée par  A  (donc l'intersection des topologies contenant A) et B l'ensemble des intersections finies des éléments de A. Alors B est une base pour T.

Ce que j'ai compris est: Si on note T_B l'ensemble des réunions quelconques d'éléments de B, T_B est une topologie de X contenant A, donc  T ⊂ T_B.

Je ne comprends pas comment on montre T_B ⊂ T. Si je ne me trompe pas, dans les pdf que j'ai vu, ils disent que si T' est une topologie contenant A, alors "est évident" que B ⊂ T', (si c'est vrai je comprends qu'alors T_B ⊂ T' et donc en prenant T'=T on conclut), mais je ne voit pas pourquoi c'est vrai que B ⊂ T'.

Merci pour votre temps.

Eust_4che

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Re : Topologie engendrée par une famille de parties

Bonjour,

Tout ensemble appartenant à $\rm A$ est un ouvert $\scr T'$. Donc, toute intersection finie d'ensembles de $\rm A$ est une intersection finie d'ouverts de $\scr T'$, donc un ouvert de $\scr T'$ ; donc, $\rm B$ est formé d'ouverts de $\scr T'$.

E.

Pol de Tayrac

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Re : Topologie engendrée par une famille de parties

Merci, j'ai compris.
Je pansais que la phrase T est l'intersection des topologies contenant A, signifie [tex]A \in T[/tex]. Mais c'est en fait T est l'intersection des topologies dont A est un sous ensemble, [tex]A \subset T[/tex].

Merci à nouveau.